Упр.13.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 13.7. Докажите неравенство 2^n > 2n+1, где n?N, n?3.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1) При $$n=3$$ имеем:

$$2^3=8, \qquad 2\cdot 3+1=7.$$

Следовательно, $$2^3>2\cdot 3+1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$2^k>2k+1.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$
2^{k+1}-(2(k+1)+1)=2^{k+1}-(2k+3)
$$

$$
=2\cdot 2^k-2k-3
=2(2^k-2k-1)+(2k-1).
$$

Так как $$2^k>2k+1,$$ то $$2^k-2k-1>0,$$ а при $$k\ge 3$$ имеем $$2k-1>0.$$ Значит,

$$2^{k+1}-(2k+3)>0,$$

то есть

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in \mathbb{N},\ n\ge 3.$$

Ответ

$$2^n>2n+1,\quad n\ge 3.$$