Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1/(1В·3)+1/(3В·5)+1/(5В·7)+…+1/((2n-1)(2n+1)), РіРґРµ nв€€N.

Разложим каждый член суммы на разность дробей:

$$
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).
$$

Тогда

$$
\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
$$

равна

$$
\frac12\left(\frac11-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
$$

Внутренние слагаемые сокращаются, остаётся

$$
\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)
=\frac12\cdot\frac{2n}{2n+1}
=\frac{n}{2n+1}.
$$

Ответ

$$\frac{n}{2n+1}$$