Упр.13.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) 1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3;
2) 1·4+2·7+3·10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2;
3) 1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2 (2n^2-1).
Докажем по индукции равенство
$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
1) База индукции. При $$n=1$$:
$$1\cdot 2=2,\qquad \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2.$$
Равенство верно.
2) Индукционный переход. Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$
1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2)
$$
$$
=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)
$$
$$
=(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right)
=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.
$$Это и есть формула при $$n=k+1$$.
Докажем равенство
$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
1) База индукции. При $$n=1$$:
$$1\cdot 4=4,\qquad 1\cdot 2^2=4.$$
Равенство верно.
2) Индукционный переход. Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$
Тогда при $$n=k+1$$:
$$
1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)
$$
$$
=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)
$$
$$
=(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr)
=(k+1)(k^2+4k+4)
$$
$$
=(k+1)(k+2)^2.
$$Следовательно, формула верна для $$n=k+1$$.
Докажем равенство
$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
1) База индукции. При $$n=1$$:
$$1^3=1,\qquad 1^2(2\cdot 1^2-1)=1.$$
Равенство верно.
2) Индукционный переход. Пусть при $$n=k$$ верно:
$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$
Докажем для $$n=k+1$$:
$$
1^3+3^3+5^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3
$$
$$
=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3
$$
$$
=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1
$$
$$
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)
$$
$$
=(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr).
$$Значит, формула верна и для $$n=k+1$$.
Ответ
Все три равенства верны при любом натуральном $$n$$.
