Упр.13.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (7^(n+1)+8^(2n-1))?19; 2) (7·24^n-5·13^n-2^(n+1))?11.

Докажем делимость по индукции.

1. $$7^{n+1}+8^{2n-1} \text{ делится на } 19.$$

   При $$n=1$$ получаем:

   $$7^2+8^1=49+8=57,$$

   а число $$57$$ делится на $$19$$.

   Предположим, что при $$n=k$$ выражение $$7^{k+1}+8^{2k-1}$$ делится на $$19$$. Докажем для $$n=k+1$$:

   $$
   7^{k+2}+8^{2k+1}
   =7\cdot 7^{k+1}+64\cdot 8^{2k-1}
   =7\bigl(7^{k+1}+8^{2k-1}\bigr)+57\cdot 8^{2k-1}.
   $$

   Так как $$7^{k+1}+8^{2k-1}$$ делится на $$19$$, а $$57$$ делится на $$19$$, то и $$7^{k+2}+8^{2k+1}$$ делится на $$19$$.

2. $$7\cdot 24^n-5\cdot 13^n-2^{n+1} \text{ делится на } 11.$$

   При $$n=1$$:

   $$7\cdot 24-5\cdot 13-2^2=168-65-4=99,$$

   а число $$99$$ делится на $$11$$.

   Предположим, что при $$n=k$$ выражение $$7\cdot 24^k-5\cdot 13^k-2^{k+1}$$ делится на $$11$$. Докажем для $$n=k+1$$:

   $$
   \begin{aligned}
   7\cdot 24^{k+1}-5\cdot 13^{k+1}-2^{k+2}
   &=7\cdot 24\cdot 24^k-5\cdot 13\cdot 13^k-2\cdot 2^{k+1} \\
   &= (154+14)\cdot 24^k-(55+10)\cdot 13^k-2\cdot 2^{k+1} \\
   &= 2\bigl(7\cdot 24^k-5\cdot 13^k-2^{k+1}\bigr)+11\cdot 14\cdot 24^k-11\cdot 5\cdot 13^k.
   \end{aligned}
   $$

   Первое слагаемое делится на $$11$$ по предположению индукции, остальные слагаемые тоже делятся на $$11$$. Значит, всё выражение делится на $$11$$.

Ответ

Оба утверждения верны для любого натурального $$n$$.