Упр.11.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) параболой y=x^2+1 и прямыми y=0, x=0, x=2;
2) косинусоидой y=cos(x) и прямыми y=0, x=-?/6, x=?/2;
3) графиком функции y=-x^3 и прямыми y=0, x=-2;
4) параболой y=3-2x-x^2 и прямыми y=0, x=-2, x=0;
5) гиперболой y=1/(2x) и прямыми y=0, x=1/4, x=2;
6) параболой y=2x-x^2 и осью абсцисс;
7) синусоидой y=sin(2x) и прямыми y=0, x=?/12, x=?/4;
8) графиком функции y=1/(x-1)^2 и прямыми y=0, x=-1, x=0;
9) графиком функции y=e^x+1 и прямыми y=0, x=0, x=-2;
10) графиком функции y=v(5-x) и прямыми y=0, x=-4.
$$S=\int_0^2 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}.$$
$$S=\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/6}^{\pi/2}=1-\left(-\frac12\right)=\frac32.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=-\frac{x^4}{4}\Big|_{-2}^{0}=0-\left(-\frac{16}{4}\right)=4.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(3-2x-x^2)\,dx=\left(3x-x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{0}.$$
$$S=0-\left(-6-4+\frac{8}{3}\right)=10-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}.$$
$$S=\int_{1/4}^{2}\frac{1}{2x}\,dx=\frac12\ln|x|\Big|_{1/4}^{2}=\frac12\left(\ln 2-\ln\frac14\right).$$
$$S=\frac12\left(\ln 2+\ln 4\right)=\frac12\ln 8.$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$2x-x^2=0,$$
$$x(2-x)=0,$$
$$x=0,\quad x=2.$$
Тогда
$$S=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^2=\frac{4}{3}.$$
$$S=\int_{\pi/12}^{\pi/4}\sin 2x\,dx=\left(-\frac12\cos 2x\right)\Big|_{\pi/12}^{\pi/4}.$$
$$S=-\frac12\cos\frac{\pi}{2}+\frac12\cos\frac{\pi}{6}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}.$$
$$S=\int_{-1}^{0}\frac{dx}{(x-1)^2}=\left(-\frac{1}{x-1}\right)\Big|_{-1}^{0}.$$
$$S=\left(-\frac{1}{-1}\right)-\left(-\frac{1}{-2}\right)=1-\frac12=\frac12.$$
$$S=\int_{-2}^{0}(e^x+1)\,dx=\left(e^x+x\right)\Big|_{-2}^{0}.$$
$$S=(1+0)-\left(e^{-2}-2\right)=3-e^{-2}=\frac{3e^2-1}{e^2}.$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$\sqrt{5-x}=0,\quad x=5.$$
Тогда
$$S=\int_{-4}^{5}\sqrt{5-x}\,dx.$$
Положим $$u=5-x,$$ тогда $$du=-dx.$$ Получаем
$$S=\int_0^9 \sqrt{u}\,du=\int_0^9 u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_0^9=\frac{2}{3}\cdot 27=18.$$
Ответ
1) $$\frac{14}{3}$$; 2) $$\frac{3}{2}$$; 3) $$4$$; 4) $$\frac{22}{3}$$; 5) $$\frac12\ln 8$$; 6) $$\frac{4}{3}$$; 7) $$\frac{\sqrt3}{4}$$; 8) $$\frac12$$; 9) $$\frac{3e^2-1}{e^2}$$; 10) $$18$$.
