Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=x^2-4x, y=x-4;
2) y=3-x^2, y=2x;
3) y=cos(x), y=-2cos(x), x=-?/6; x=?/2;
4) y=4-x^2, y=x^2-2x.

1. $$y=x^2-4x,\quad y=x-4$$

   Найдём точки пересечения:

   $$x^2-4x=x-4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9,\quad x_1=1,\quad x_2=4$$

   На отрезке $$[1;4]$$ сверху находится прямая $$y=x-4$$, снизу — парабола $$y=x^2-4x$$. Тогда

   $$
   S=\int\limits_{1}^{4}\bigl((x-4)-(x^2-4x)\bigr)\,dx
   =\int\limits_{1}^{4}(-x^2+5x-4)\,dx
   $$

   $$
   S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right)\Bigg|_{1}^{4}
   =\frac{9}{2}
   $$

2. $$y=3-x^2,\quad y=2x$$

   Точки пересечения:

   $$3-x^2=2x$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$D=16,\quad x_1=-3,\quad x_2=1$$

   На отрезке $$[-3;1]$$ сверху парабола $$y=3-x^2$$, снизу прямая $$y=2x$$. Тогда

   $$
   S=\int\limits_{-3}^{1}\bigl((3-x^2)-2x\bigr)\,dx
   =\int\limits_{-3}^{1}(3-x^2-2x)\,dx
   $$

   $$
   S=\left(3x-\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_{-3}^{1}
   =\frac{31}{3}
   $$

3. $$y=\cos x,\quad y=-2\cos x,\quad x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{2}$$

   Разность верхней и нижней функций:

   $$\cos x-(-2\cos x)=3\cos x$$

   Тогда площадь:

   $$
   S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/2}3\cos x\,dx
   =3\sin x\Bigg|_{-\pi/6}^{\pi/2}
   $$

   $$
   S=3\sin\frac{\pi}{2}-3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)
   =3+\frac{3}{2}
   =\frac{9}{2}
   $$

4. $$y=4-x^2,\quad y=x^2-2x$$

   Точки пересечения:

   $$4-x^2=x^2-2x$$

   $$2x^2-2x-4=0$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=9,\quad x_1=-1,\quad x_2=2$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ сверху функция $$y=4-x^2$$, снизу функция $$y=x^2-2x$$. Тогда

   $$
   S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx
   =\int\limits_{-1}^{2}(4-2x^2+2x)\,dx
   $$

   $$
   S=\left(4x-\frac{2x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-1}^{2}
   =9
   $$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{31}{3}$$; 3) $$\frac{9}{2}$$; 4) $$9$$.