Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 11.16. При каком значении а прямая x=a разбивает фигуру, ограниченную графиком функции y=-x^3 и прямыми y=0, x=-2, на две равновеликие фигуры?

Найдём площадь фигуры, ограниченной графиком $$y=-x^3$$, осью $$Ox$$ и прямой $$x=-2$$:

$$
S=\int_{-2}^{0}(-x^3)\,dx=\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{0}
=-\frac{0^4}{4}+\frac{(-2)^4}{4}=4.
$$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, площадь справа от неё должна быть равна половине общей площади:

$$
\int_{a}^{0}(-x^3)\,dx=2.
$$

Вычислим интеграл:

$$
\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{a}^{0}=2,
$$

$$
\frac{a^4}{4}=2,
$$

$$
a^4=8.
$$

Так как $$a$$ лежит на отрезке $$[-2;0]$$, получаем

$$
a=-\sqrt[4]{8}.
$$

Ответ

$$-\sqrt[4]{8}$$