Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 11.15. При каком значении а прямая x=a разбивает фигуру, ограниченную графиком функции y=2/x и прямыми y=0, x=3, x=12, на две равновеликие фигуры?

Найдём площадь всей фигуры:

$$S=\int_{3}^{12}\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|\Big|_{3}^{12}=2\ln 12-2\ln 3=2\ln 4.$$

Чтобы прямая $$x=a$$ делила фигуру на две равновеликие части, площадь слева от неё должна быть равна половине общей площади:

$$\int_{3}^{a}\frac{2}{x}\,dx=\frac{S}{2}=\ln 4.$$

Тогда

$$2\ln|x|\Big|_{3}^{a}=\ln 4,$$

$$2\ln a-2\ln 3=\ln 4,$$

$$\ln a^2-\ln 9=\ln 4,$$

$$\ln a^2=\ln 36,$$

$$a^2=36,$$

$$a=6,$$

так как $$3<a<12$$.

Ответ

$$6$$