Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) графиком функции y=x^3 и прямыми y=8, x=1;
2) параболой y=0,5x^2 и прямой y=-x;
3) параболой y=4-x^2 и прямой y=3;
4) параболой y=6+x-x^2 и прямой y=6-2x;
5) параболами y=x^2-4x+4 и y=4-x^2;
6) гиперболой y=3/x и прямыми y=3, x=3;
7) графиком функции y=e^(-x) и прямыми y=e, x=0;
8) гиперболой y=5/x и прямой x+y=6.

1. $$y=x^3,\quad y=8,\quad x=1$$

   Точка пересечения графика $$y=x^3$$ и прямой $$y=8$$:

   $$x^3=8,\quad x=2.$$

   Тогда площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{1}^{2}(8-x^3)\,dx
   =\left(8x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{1}^{2}
   =\left(16-4\right)-\left(8-\frac14\right)
   =\frac{15}{4}.
   $$

2. $$y=0{,}5x^2,\quad y=-x$$

   Точки пересечения:

   $$0{,}5x^2=-x,\quad x^2+2x=0,\quad x(x+2)=0,$$

   $$x=-2,\quad x=0.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{-2}^{0}\left(0{,}5x^2+x\right)\,dx
   =\left(\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{0}
   =\frac{2}{3}.
   $$

3. $$y=4-x^2,\quad y=3$$

   Точки пересечения:

   $$4-x^2=3,\quad x^2=1,\quad x=\pm1.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{-1}^{1}(4-x^2-3)\,dx
   =\int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx
   =\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1}
   =\frac{4}{3}.
   $$

4. $$y=6+x-x^2,\quad y=6-2x$$

   Точки пересечения:

   $$6+x-x^2=6-2x,\quad x^2-3x=0,\quad x(x-3)=0,$$

   $$x=0,\quad x=3.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((6+x-x^2)-(6-2x)\bigr)\,dx
   =\int\limits_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx
   =\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}
   =\frac{9}{2}.
   $$

5. $$y=x^2-4x+4,\quad y=4-x^2$$

   Точки пересечения:

   $$x^2-4x+4=4-x^2,\quad 2x^2-4x=0,\quad 2x(x-2)=0,$$

   $$x=0,\quad x=2.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{0}^{2}\bigl((4-x^2)-(x^2-4x+4)\bigr)\,dx
   =\int\limits_{0}^{2}(4x-2x^2)\,dx
   =\left(2x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}
   =\frac{8}{3}.
   $$

6. $$y=\frac{3}{x},\quad y=3,\quad x=3$$

   Точка пересечения гиперболы и прямой $$y=3$$:

   $$\frac{3}{x}=3,\quad x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{1}^{3}\left(3-\frac{3}{x}\right)\,dx
   =\left(3x-3\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{3}
   =6-3\ln 3.
   $$

7. $$y=e^{-x},\quad y=e,\quad x=0$$

   Точка пересечения:

   $$e^{-x}=e,\quad -x=1,\quad x=-1.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{-1}^{0}\left(e-e^{-x}\right)\,dx
   =\left(ex+e^{-x}\right)\Bigg|_{-1}^{0}
   =e-1.
   $$

8. $$y=\frac{5}{x},\quad x+y=6$$

   Точки пересечения:

   $$\frac{5}{x}=6-x,\quad 5=6x-x^2,\quad x^2-6x+5=0,$$

   $$x=1,\quad x=5.$$

   Площадь фигуры:

   $$
   S=\int\limits_{1}^{5}\left(6-x-\frac{5}{x}\right)\,dx
   =\left(6x-\frac{x^2}{2}-5\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{5}
   =12-5\ln 5.
   $$

Ответ

1) $$\frac{15}{4}$$; 2) $$\frac{2}{3}$$; 3) $$\frac{4}{3}$$; 4) $$\frac{9}{2}$$; 5) $$\frac{8}{3}$$; 6) $$6-3\ln 3$$; 7) $$e-1$$; 8) $$12-5\ln 5$$.