Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=x^2, y=4; 4) y=4/x, y=1, x=1;
2) y=2x^2, y=2x; 5) y=4/x, y=4, x=4;
3) y=e^x, y=1, x=2; 6) y=x^2-4x+5, y=5;
7) y=2+x-x^2, y=2-x; 12) y=e^x, y=e, x=0;
8) y=x^2+2, y=x+4; 13) y=7/x, x+y=8;
9) y=x^2+2x+1, y=x+3; 14) y=2/x^2, y=2x, x=2;
10) y=-x^2+2x, y=x^2; 15) y=sin(x), y=cos(x), x=0, x=?/4.
11) y=x^3, y=x^2;

1. $$y=x^2,\quad y=4$$

   Точки пересечения:

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

   Тогда

   $$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}=\frac{32}{3}.$$

2. $$y=2x^2,\quad y=2x$$

   Точки пересечения:

   $$2x^2=2x,\quad x(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$

   Тогда

   $$S=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.$$

3. $$y=e^x,\quad y=1,\quad x=2$$

   Точка пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=1$$:

   $$e^x=1,\quad x=0.$$

   Тогда

   $$S=\int_{0}^{2}(e^x-1)\,dx=\left(e^x-x\right)\Bigg|_{0}^{2}=e^2-3.$$

4. $$y=\frac{4}{x},\quad y=1,\quad x=1$$

   Точка пересечения:

   $$\frac{4}{x}=1,\quad x=4.$$

   Тогда

   $$S=\int_{1}^{4}\left(\frac{4}{x}-1\right)\,dx=\left(4\ln|x|-x\right)\Bigg|_{1}^{4}=4\ln 4-3.$$

5. $$y=\frac{4}{x},\quad y=4,\quad x=4$$

   Точка пересечения:

   $$\frac{4}{x}=4,\quad x=1.$$

   Тогда

   $$S=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{x}\right)\,dx=\left(4x-4\ln|x|\right)\Bigg|_{1}^{4}=12-4\ln 4.$$

6. $$y=x^2-4x+5,\quad y=5$$

   Точки пересечения:

   $$x^2-4x+5=5,\quad x(x-4)=0,\quad x=0,\;4.$$

   Тогда

   $$S=\int_{0}^{4}(5-(x^2-4x+5))\,dx=\int_{0}^{4}(4x-x^2)\,dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{4}=\frac{32}{3}.$$

7. $$y=2+x-x^2,\quad y=2-x$$

   Точки пересечения:

   $$2+x-x^2=2-x,\quad x^2-2x=0,\quad x=0,\;2.$$

   Тогда

   $$S=\int_{0}^{2}\bigl((2+x-x^2)-(2-x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{4}{3}.$$

8. $$y=x^2+2,\quad y=x+4$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+2=x+4,\quad x^2-x-2=0,\quad x=-1,\;2.$$

   Тогда

   $$S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+4)-(x^2+2)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2}=\frac{9}{2}.$$

9. $$y=x^2+2x+1,\quad y=x+3$$

   Точки пересечения:

   $$x^2+2x+1=x+3,\quad x^2+x-2=0,\quad x=-2,\;1.$$

   Тогда

   $$S=\int_{-2}^{1}\bigl((x+3)-(x^2+2x+1)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}=\frac{9}{2}.$$

10. $$y=-x^2+2x,\quad y=x^2$$

    Точки пересечения:

    $$-x^2+2x=x^2,\quad 2x^2-2x=0,\quad x=0,\;1.$$

    Тогда

    $$S=\int_{0}^{1}\bigl((-x^2+2x)-x^2\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}(2x-2x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.$$

11. $$y=x^3,\quad y=x^2$$

    Точки пересечения:

    $$x^3=x^2,\quad x^2(x-1)=0,\quad x=0,\;1.$$

    Тогда

    $$S=\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{12}.$$

12. $$y=e^x,\quad y=e,\quad x=0$$

    Точка пересечения:

    $$e^x=e,\quad x=1.$$

    Тогда

    $$S=\int_{0}^{1}(e-e^x)\,dx=\left(ex-e^x\right)\Bigg|_{0}^{1}=1.$$

13. $$y=\frac{7}{x},\quad x+y=8$$

    Из второго уравнения:

    $$y=8-x.$$

    Точки пересечения:

    $$\frac{7}{x}=8-x,\quad x^2-8x+7=0,\quad x=1,\;7.$$

    Тогда

    $$S=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-(8-x)\right)\,dx=\int_{1}^{7}\left(\frac{7}{x}-8+x\right)\,dx=\left(7\ln|x|-8x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{1}^{7}=24-7\ln 7.$$

14. $$y=\frac{2}{x^2},\quad y=2x,\quad x=2$$

    Точка пересечения:

    $$\frac{2}{x^2}=2x,\quad x^3=1,\quad x=1.$$

    Тогда

    $$S=\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x^2}-2x\right)\,dx=\left(-\frac{2}{x}-x^2\right)\Bigg|_{1}^{2}=2.$$

15. $$y=\sin x,\quad y=\cos x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{4}$$

    На отрезке $$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$$ сверху находится $$y=\cos x$$.

    Тогда

    $$S=\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\left(\sin x+\cos x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4}=\sqrt{2}-1.$$

Ответ

1. $$\frac{32}{3}$$
2. $$\frac{1}{3}$$
3. $$e^2-3$$
4. $$4\ln 4-3$$
5. $$12-4\ln 4$$
6. $$\frac{32}{3}$$
7. $$\frac{4}{3}$$
8. $$\frac{9}{2}$$
9. $$\frac{9}{2}$$
10. $$\frac{1}{3}$$
11. $$\frac{1}{12}$$
12. $$1$$
13. $$24-7\ln 7$$
14. $$2$$
15. $$\sqrt{2}-1$$