Упр.11.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 11.1. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.11.

1. а) $$S=\int_{1}^{2}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$2\frac{1}{3}.$$

2. б) $$S=\int_{0}^{1}x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$

   Ответ: $$\frac{1}{4}.$$

3. в) $$S=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{\pi/6}^{\pi/3}=\sin\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

   Ответ: $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

4. г) $$S=\int_{-1}^{1}e^x\,dx=\left.e^x\right|_{-1}^{1}=e-\frac{1}{e}.$$

   Ответ: $$e-\frac{1}{e}.$$

5. д) $$S=\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int_{0}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{4}=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$5\frac{1}{3}.$$

6. е) $$S=\int_{-3}^{-2}\left(-\frac{6}{x}\right)\,dx=-6\int_{-3}^{-2}\frac{1}{x}\,dx=-6\left.\ln|x|\right|_{-3}^{-2}=-6\ln 2+6\ln 3=6\ln\frac{3}{2}.$$

   Ответ: $$6\ln\frac{3}{2}.$$

7. ж) $$S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left. \left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-2}^{2}.$$

   $$S=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.$$

   Ответ: $$10\frac{2}{3}.$$

8. з) $$S=\int_{1/2}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx=\int_{1/2}^{1}x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_{1/2}^{1}=-1-(-2)=1.$$

   Ответ: $$1.$$