Упр.10.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 10.7. Для функции f(x)=4x^3+4x найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1. Найдите остальные нули этой первообразной.
Найдём первообразную для функции $$f(x)=4x^3+4x$$:
$$
F(x)=\int (4x^3+4x)\,dx=x^4+2x^2+C.
$$
Так как один из нулей первообразной равен $$-1$$, подставим это значение:
$$
F(-1)=(-1)^4+2(-1)^2+C=1+2+C=0,
$$
откуда
$$
C=-3.
$$
Следовательно,
$$
F(x)=x^4+2x^2-3.
$$
Найдём остальные нули этой первообразной:
$$
x^4+2x^2-3=0.
$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$
t^2+2t-3=0,
$$
$$
(t+3)(t-1)=0.
$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=-3$$. Но $$t=x^2\ge 0$$, значит подходит только $$t=1$$:
$$
x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.
$$
Один корень уже известен: $$x=-1$$. Значит, другой нуль первообразной — $$x=1$$.
Ответ
$$F(x)=x^4+2x^2-3,$$ остальные нули: $$x=1$$.
