Упр.10.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=3-6x, I=(-?; +?), A(-1; 0);
2) f(x)=4x^3-6x^2+1, I=(-?; +?), B(1; 5);
3) f(x)=2x-1/vx, I=(0; +?), C(4; 10);
4) f(x)=2sin(3x), I=(-?; +?), D(?/3; 0);
5) f(x)=2/v(x/2-2), I=(4; +?), E(6; 12);
6) f(x)=e^(2x+1), I=(-?; +?), M(-1/2; 4);
7) f(x)=1/(4x-3e^2), I=((3e^2)/4; +?), K(e^2; 6);
8) f(x)=1/sin^2(x/8), I=(0; 8?), N(2?; -2).

1. $$f(x)=3-6x$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int (3-6x)\,dx=3x-3x^2+C.$$

   Так как график проходит через точку $$A(-1;0)$$, то

   $$F(-1)=-3-3+C=0,$$

   откуда $$C=6.$$

   Значит,

   $$F(x)=3x-3x^2+6.$$

2. $$f(x)=4x^3-6x^2+1$$

   $$F(x)=\int (4x^3-6x^2+1)\,dx=x^4-2x^3+x+C.$$

   Из условия $$B(1;5)$$:

   $$F(1)=1-2+1+C=5,$$

   следовательно, $$C=5.$$

   Итак,

   $$F(x)=x^4-2x^3+x+5.$$

3. $$f(x)=2x-\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x>0$$

   $$F(x)=\int \left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx=x^2-2\sqrt{x}+C.$$

   Так как $$C(4;10)$$, то

   $$F(4)=16-4+C=10,$$

   откуда $$C=-2.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=x^2-2\sqrt{x}-2.$$

4. $$f(x)=2\sin 3x$$

   $$F(x)=\int 2\sin 3x\,dx=-\frac{2}{3}\cos 3x+C.$$

   Из точки $$D\left(\frac{\pi}{3};0\right)$$ получаем:

   $$F\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{2}{3}\cos \pi + C=0,$$

   значит, $$\frac{2}{3}+C=0,$$ откуда $$C=-\frac{2}{3}.$$

   Итак,

   $$F(x)=-\frac{2}{3}\cos 3x-\frac{2}{3}.$$

5. $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2}-2}}, \quad x>4$$

   $$F(x)=\int \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2}-2}}\,dx=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+C.$$

   Так как $$E(6;12)$$, то

   $$F(6)=8\sqrt{1}+C=12,$$

   следовательно, $$C=4.$$

   Значит,

   $$F(x)=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+4.$$

6. $$f(x)=e^{2x+1}$$

   $$F(x)=\int e^{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x+1}+C.$$

   Из точки $$M\left(-\frac{1}{2};4\right)$$:

   $$F\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+C=4,$$

   откуда $$C=\frac{7}{2}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{1}{2}e^{2x+1}+\frac{7}{2}.$$

7. $$f(x)=\frac{1}{4x-3e^2}, \quad x>\frac{3e^2}{4}$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{4x-3e^2}\,dx=\frac{1}{4}\ln|4x-3e^2|+C.$$

   Так как $$K(e^2;6)$$, то

   $$F(e^2)=\frac{1}{4}\ln(e^2)+C=6,$$

   $$\frac{1}{2}+C=6,$$

   откуда $$C=\frac{11}{2}.$$

   Итак,

   $$F(x)=\frac{1}{4}\ln(4x-3e^2)+\frac{11}{2}.$$

8. $$f(x)=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{8}}, \quad 0<x<8\pi$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{\sin^2\frac{x}{8}}\,dx=-8\ctg\frac{x}{8}+C.$$

   Из точки $$N(2\pi;-2)$$:

   $$F(2\pi)=-8\ctg\frac{\pi}{4}+C=-8+C=-2,$$

   значит, $$C=6.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-8\ctg\frac{x}{8}+6.$$

Ответ

1) $$F(x)=3x-3x^2+6$$; 2) $$F(x)=x^4-2x^3+x+5$$; 3) $$F(x)=x^2-2\sqrt{x}-2$$; 4) $$F(x)=-\frac{2}{3}\cos 3x-\frac{2}{3}$$; 5) $$F(x)=8\sqrt{\frac{x}{2}-2}+4$$; 6) $$F(x)=\frac{1}{2}e^{2x+1}+\frac{7}{2}$$; 7) $$F(x)=\frac{1}{4}\ln(4x-3e^2)+\frac{11}{2}$$; 8) $$F(x)=-8\ctg\frac{x}{8}+6$$.