Упр.10.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=sin(x/4);
2) f(x)=2cos(?/6-x);
3) f(x)=e^(5-x/2);
4) f(x)=1/2^(3x+5);
5) f(x)=(2x-3)^5;
6) f(x)=1/cos^2(2x-?/4) на промежутке (-?/8; 3?/8);
7) f(x)=3/(3x-1)^3 на промежутке (1/3; +?);
8) f(x)=1/(3-x) на промежутке (-?; 3);
9) f(x)=1/sin^2(x/5) на промежутке (0; 5?);
10) f(x)=(4x+7)^(1/4) на промежутке (-7/4; +?).

1. $$f(x)=\sin\frac{x}{4}$$

   $$F(x)=\int \sin\frac{x}{4}\,dx=-4\cos\frac{x}{4}+C$$

2. $$f(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)$$

   $$F(x)=\int 2\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\,dx=-2\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+C$$

3. $$f(x)=e^{5-\frac{x}{2}}$$

   $$F(x)=\int e^{5-\frac{x}{2}}\,dx=-2e^{5-\frac{x}{2}}+C$$

4. $$f(x)=\frac{1}{2^{3x+5}}=2^{-3x-5}$$

   $$F(x)=\int 2^{-3x-5}\,dx=-\frac{1}{3\ln 2}\,2^{-3x-5}+C=-\frac{1}{3^{\,}2^{3x+5}\ln 2}+C$$

5. $$f(x)=(2x-3)^5$$

   $$F(x)=\int (2x-3)^5\,dx=\frac{(2x-3)^6}{12}+C$$

6. $$f(x)=\frac{1}{\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)}$$

   На данном промежутке функция определена, поэтому

   $$F(x)=\int \frac{1}{\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)}\,dx=\frac12\tan\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+C$$

7. $$f(x)=\frac{3}{(3x-1)^3}$$

   $$F(x)=\int \frac{3}{(3x-1)^3}\,dx=-\frac{1}{2(3x-1)^2}+C$$

8. $$f(x)=\frac{1}{3-x}$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{3-x}\,dx=-\ln(3-x)+C$$

9. $$f(x)=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}}$$

   $$F(x)=\int \frac{1}{\sin^2\frac{x}{5}}\,dx=-5\ctg\frac{x}{5}+C$$

10. $$f(x)=\sqrt[4]{4x+7}=(4x+7)^{\frac14}$$

    $$F(x)=\int (4x+7)^{\frac14}\,dx=\frac15(4x+7)^{\frac54}+C$$

Ответ

1) $$F(x)=-4\cos\frac{x}{4}+C$$;
2) $$F(x)=-2\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+C$$;
3) $$F(x)=-2e^{5-\frac{x}{2}}+C$$;
4) $$F(x)=-\frac{1}{3\ln 2}\,2^{-3x-5}+C$$;
5) $$F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C$$;
6) $$F(x)=\frac12\tan\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+C$$;
7) $$F(x)=-\frac{1}{2(3x-1)^2}+C$$;
8) $$F(x)=-\ln(3-x)+C$$;
9) $$F(x)=-5\ctg\frac{x}{5}+C$$;
10) $$F(x)=\frac15(4x+7)^{\frac54}+C$$.