Упр.10.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

(a+b)/(va+vb):((a+b)/(a-b)-b/(b-v(ab))+a/(v(ab)+a))-v(a+b-2v(ab))/2.

Преобразуем выражение:

$$
\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)-\frac{\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}}{2}.
$$

Заметим, что

$$
a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2,
$$
поэтому
$$
\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|.
$$

Упростим выражение в скобках:

$$
\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}
=
\frac{a+b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}
-\frac{b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}
+\frac{a}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}.
$$

После приведения к общему знаменателю получаем:

$$
\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}
=
\frac{a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}.
$$

Числитель упрощается:

$$
a+b+\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)+\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)
= a+b+\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}=2(a+b).
$$

Тогда

$$
\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{b}{b-\sqrt{ab}}+\frac{a}{\sqrt{ab}+a}\right)
=
\frac{a+b}{\sqrt a+\sqrt b}:\frac{2(a+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}
=
\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}.
$$

Следовательно, всё выражение равно

$$
\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{|\sqrt a-\sqrt b|}{2}.
$$

Рассмотрим два случая:

• если $$0<b<a,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b>0,$$ и тогда
  $$
  \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}=0;
  $$
• если $$0<a<b,$$ то $$\sqrt a-\sqrt b<0,$$ и тогда
  $$
  \frac{\sqrt a-\sqrt b}{2}-\frac{\sqrt b-\sqrt a}{2}=\sqrt a-\sqrt b.
  $$

Ответ

$$
\begin{cases}
0, & 0<b<a,\\
\sqrt a-\sqrt b, & 0<a<b.
\end{cases}
$$