Упр.10.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) делает замену x^2=t и получает функцию y=cos(t);
2) далее ищет первообразную функции y=cos(t) и получает y=sin(t);
3) потом вместо t подставляет значение t=x^2 и делает вывод, что каждая первообразная имеет вид y=sin(x^2)+C, где С — некоторое число.
В чём состоит ошибка этого ученика?

Ошибка ученика в том, что он неверно выполнил замену переменной. Если положить $$t=x^2,$$ то функция $$y=\cos(x^2)$$ действительно перепишется как $$y=\cos t,$$ но первообразную нужно искать не для $$\cos t$$ как для функции от $$t$$, а с учётом того, что $$t=x^2$$ и $$dt=2x\,dx.$$

Поэтому нельзя просто взять первообразную $$\sin t$$ и заменить $$t$$ на $$x^2.$$ Проверим:

$$F(x)=\sin(x^2)+C,$$

тогда

$$F'(x)=2x\cos(x^2),$$

а это не равно $$\cos(x^2).$$

Значит, $$\sin(x^2)+C$$ не является первообразной функции $$\cos(x^2).$$

Ошибка состоит в том, что при замене переменной не учтён множитель $$2x,$$ возникающий при дифференцировании $$x^2.$$

Ответ

Ошибка ученика в том, что он не учёл замену $$dt=2x\,dx.$$ Нельзя считать, что первообразная функции $$\cos(x^2)$$ равна $$\sin(x^2)+C,$$ так как $$\left(\sin(x^2)\right)’=2x\cos(x^2)\ne \cos(x^2).$$