Упр.10.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ?cos^2(2x)dx; 2) ?cos(x)cos(8x)dx.

1) Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}.$$

Тогда

$$
\int \cos^2 2x\,dx
=
\int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx
=
\frac12\int 1\,dx+\frac12\int \cos 4x\,dx.
$$

$$
\frac12\int 1\,dx+\frac12\int \cos 4x\,dx
=
\frac{x}{2}+\frac12\cdot\frac{\sin 4x}{4}+C
=
\frac{x}{2}+\frac18\sin 4x+C.
$$

2) Применим формулу произведения косинусов:

$$\cos x\cos 8x=\frac12(\cos 9x+\cos 7x).$$

Тогда

$$
\int \cos x\cos 8x\,dx
=
\frac12\int (\cos 9x+\cos 7x)\,dx
=
\frac12\left(\frac{\sin 9x}{9}+\frac{\sin 7x}{7}\right)+C.
$$

$$
\int \cos x\cos 8x\,dx
=
\frac1{18}\sin 9x+\frac1{14}\sin 7x+C.
$$

Ответ

1) $$\frac{x}{2}+\frac18\sin 4x+C$$

2) $$\frac1{18}\sin 9x+\frac1{14}\sin 7x+C$$