Ответы на вопросы Параграф 8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

2. Каким свойством обладает касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной 0?
3. Как называют логарифм, основание которого равно e?
4. По какой формуле находят производную: 1) показательной функции; 2) логарифмической функции; 3) степенной функции?

1. Производная показательной функции $$y=e^x$$ равна самой функции:
   $$\left(e^x\right)’=e^x.$$
   Поэтому такую функцию называют экспонентой.
2. Для графика экспоненты $$y=e^x$$ в точке с абсциссой $$x=0$$ имеем:
   $$f'(0)=\left(e^x\right)’_{x=0}=e^0=1.$$
   Значит, касательная в этой точке имеет угловой коэффициент $$1$$, то есть она параллельна прямой $$y=x$$.
3. Логарифм по основанию $$e$$ называют натуральным логарифмом:
   $$\log_e a=\ln a.$$
4. Формулы производных:

   1) показательной функции:
   $$\left(a^x\right)’=a^x\ln a,\quad a>0,\ a\ne 1;$$

   2) логарифмической функции:
   $$\left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a},\quad a>0,\ a\ne 1;$$

   3) степенной функции:
   $$\left(x^a\right)’=ax^{a-1}.$$

Ответ

1) Экспонента. 2) Касательная параллельна прямой $$y=x$$. 3) Натуральный логарифм. 4)
$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a,\quad \left(\log_a x\right)’=\frac{1}{x\ln a},\quad \left(x^a\right)’=ax^{a-1}.$$