Дополнительные задачи Параграф 8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

2. Решите уравнение:
1) 2^x=3-x; 2) 3^x+4^x=5^x.
3. Решите неравенство x^2·3^x+9 < x^2+3^(x+2). 4. Решите уравнение |3^x-1|+|3^x-9|=8. 5. Решите неравенство: 1) 5^x > 6-x; 2) 5^x+12^x < 13^x. 6. Решите неравенство (2^x-2)v(x^2-x-6)?0. 7. Решите уравнение log(2, (x-5)^2)-2log(2, x+2)=2. 8. Решите уравнение: 1) log(7, x+8)=-x; 2) (log(2, x))^2+(x-1)log(2, x)=6-2x. 9. Решите уравнение (lg(x+1))^2=lg(x+1)lg(x-1)+2(lg(x-1))^2. 10. Решите уравнение v(tg(x)+1)log(1/2, 3-x)=0. 11. Решите неравенство: 1) log(x-2, 2x-9) < 0; 2) log(x+1, 5-x) > 1.
12. Решите неравенство v(-x^2+7x-10)log(2, x-3)?0.

1. $$\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt3}\right)^x=4.$$
   Так как
   $$\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt3}},$$
   получаем
   $$\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x+\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{-x}=4.$$
   Обозначим
   $$t=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^x>0.$$
   Тогда
   $$t+\frac1t=4,$$
   $$t^2-4t+1=0.$$
   Отсюда
   $$t=2\pm\sqrt3.$$
   Но
   $$2+\sqrt3=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^2,\qquad 2-\sqrt3=\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^{-2},$$
   значит
   $$x=2 \text{ или } x=-2.$$

2. 1) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=3-x.$$
   Проверим значение $$x=1$$:
   $$2^1=2,\qquad 3-1=2.$$
   Следовательно, $$x=1$$ — решение.

   2) Пусть
   $$f(x)=3^x+4^x-5^x.$$
   Проверим $$x=2$$:
   $$3^2+4^2=9+16=25=5^2.$$
   Значит, $$x=2$$ — решение.

3. $$x^2\cdot 3^x+9<x^2+3^{x+2}.$$
   Так как $$3^{x+2}=9\cdot 3^x,$$ то
   $$x^2\cdot 3^x+9<x^2+9\cdot 3^x,$$
   $$x^2(3^x-1)<9(3^x-1),$$
   $$\bigl(x^2-9\bigr)(3^x-1)<0,$$
   $$ (x-3)(x+3)(3^x-1)<0.$$
   Поскольку $$3^x-1<0$$ при $$x<0$$ и $$3^x-1>0$$ при $$x>0,$$ получаем
   $$x<-3 \quad \text{или} \quad 0<x<3.$$

4. Обозначим $$t=3^x>0.$$ Тогда
   $$|3^x-1|+|3^x-9|=|t-1|+|t-9|=8.$$
   Сумма расстояний от точки $$t$$ до чисел $$1$$ и $$9$$ равна $$8$$ при всех $$t\in[1,9].$$
   Значит,
   $$1\le 3^x\le 9,$$
   откуда
   $$0\le x\le 2.$$

5. 1) $$5^x>6-x.$$
   Проверим $$x=1$$:
   $$5^1=5,\qquad 6-1=5.$$
   Так как функция $$5^x$$ возрастает, а $$6-x$$ убывает, то неравенство выполняется при
   $$x>1.$$

   2) $$5^x+12^x<13^x.$$
   Делим на $$13^x>0$$:
   $$\left(\frac{5}{13}\right)^x+\left(\frac{12}{13}\right)^x<1.$$
   При $$x=2$$:
   $$\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25+144}{169}=1.$$
   Следовательно, решение:
   $$x>2.$$

6. $$\left(2^x-2\right)\sqrt{x^2-x-6}\ge 0.$$
   Область определения:
   $$x^2-x-6\ge 0,$$
   $$ (x-3)(x+2)\ge 0,$$
   $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
   Кроме того,
   $$2^x-2\ge 0 \iff x\ge 1.$$
   Тогда произведение неотрицательно, если оба множителя неотрицательны, либо один из них равен нулю:
   $$x\ge 3 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

7. $$\log_2 (x-5)^2-2\log_2(x+2)=2.$$
   Область определения:
   $$x>-2,\qquad x\ne 5.$$
   Преобразуем:
   $$2\log_2|x-5|-2\log_2(x+2)=2,$$
   $$\log_2\frac{|x-5|}{x+2}=1,$$
   $$\frac{|x-5|}{x+2}=2.$$
   Тогда:
   
   1) при $$x\ge 5$$:
   $$x-5=2x+4,$$
   $$x=-9,$$
   что не подходит;
   
   2) при $$x<5$$:
   $$5-x=2x+4,$$
   $$3x=1,$$
   $$x=\frac13.$$

8. 1) $$\log_7(x+8)=-x.$$
   Проверим $$x=-1$$:
   $$\log_7 7=1,\qquad -(-1)=1.$$
   Значит, $$x=-1.$$

   2) $$\bigl(\log_2 x\bigr)^2+(x-1)\log_2 x=6-2x.$$
   Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$x=2^t$$, и уравнение сводится к проверке корней. Подстановкой получаем:
   $$x=\frac14 \quad \text{и} \quad x=2.$$

9. $$\bigl(\lg(x+1)\bigr)^2=\lg(x+1)\lg(x-1)+2\bigl(\lg(x-1)\bigr)^2.$$
   Область определения:
   $$x>1.$$
   Обозначим
   $$a=\lg(x+1),\qquad b=\lg(x-1).$$
   Тогда
   $$a^2=ab+2b^2.$$
   Пусть $$t=\frac{a}{b}$$. Получаем
   $$t^2-t-2=0,$$
   $$t=2 \text{ или } t=-1.$$
   1) $$\lg(x+1)=2\lg(x-1)$$:
   $$x+1=(x-1)^2,$$
   $$x^2-3x=0,$$
   $$x=3.$$
   2) $$\lg(x+1)=-\lg(x-1)$$:
   $$\lg\bigl((x+1)(x-1)\bigr)=0,$$
   $$x^2-1=1,$$
   $$x=\sqrt2,$$
   но это не удовлетворяет $$x>1$$ и исходному уравнению не подходит.
   Поэтому остаётся
   $$x=3.$$

10. $$\sqrt{\tan x+1}\,\log_{\frac12}(3-x)=0.$$
    Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, при этом
    $$\tan x+1\ge 0,\qquad 3-x>0,\qquad 3-x\ne 1.$$
    1) $$\log_{\frac12}(3-x)=0 \iff 3-x=1 \iff x=2.$$
    2) $$\sqrt{\tan x+1}=0 \iff \tan x=-1,$$
    $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
    С учётом $$x<3$$ получаем
    $$n\le 1.$$

11. 1) $$\log_{x-2}(2x-9)<0.$$
    Для логарифма нужно:
    $$x-2>0,\quad x-2\ne 1,\quad 2x-9>0.$$
    Рассматриваем случаи:
    
    если $$0<x-2<1,$$ то $$2<x<3,$$ но тогда $$2x-9<0,$$ не подходит;
    
    если $$x-2>1,$$ то $$x>3,$$ и для отрицательного логарифма нужно
    $$0<2x-9<1,$$
    откуда
    $$4.5<x<5.$$

    2) $$\log_{x+1}(5-x)>1.$$
    Область определения:
    $$x+1>0,\quad x+1\ne 1,\quad 5-x>0.$$
    Если $$x+1>1,$$ то основание больше 1, и тогда
    $$5-x>x+1,$$
    $$x<2.$$
    С учётом ОДЗ получаем
    $$0<x<2.$$

12. $$\sqrt{-x^2+7x-10}\,\log_2(x-3)\le 0.$$
    Область определения:
    $$-x^2+7x-10\ge 0,$$
    $$x^2-7x+10\le 0,$$
    $$(x-2)(x-5)\le 0,$$
    $$2\le x\le 5,$$
    и
    $$x-3>0,\quad x\ne 4.$$
    Кроме того,
    $$\log_2(x-3)\le 0 \iff 0<x-3\le 1 \iff 3<x\le 4.$$
    Тогда произведение не положительно при
    $$x\in(3;4]\cup\{5\}.$$

Ответ

1. $$x=-2,\;2$$
2. 1) $$x=1$$; 2) $$x=2$$
3. $$(-\infty;-3)\cup(0;3)$$
4. $$[0;2]$$
5. 1) $$x>1$$; 2) $$x>2$$
6. $$\{-2\}\cup[3;+\infty)$$
7. $$x=\frac13$$
8. 1) $$x=-1$$; 2) $$x=\frac14,\;2$$
9. $$x=3$$
10. $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\le 1;\; x=2$$
11. 1) $$\left(\frac92;5\right)$$; 2) $$\left(0;2\right)$$
12. $$\left(3;4\right]\cup\{5\}$$