Ответы на вопросы Глава 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Назвать множество значений каждой из функций
у = sinx, у = cosx.
2. Назвать область определения каждой из функций
у = tgx, у = ctgx.
3. Какая из функций
у = sinx, у = cosx, у = tgx, у = ctg x является чётной?
4. Какая функция называется периодической?
5. Привести пример функции, у которой наименьший положительный период равен: 2Пи; Пи; Пи/2; ЗПи.
6. Назвать промежутки возрастания каждой из функций
у = sinx, у = cosx.
7. При каких значениях x каждая из функций
у = tgx, у = ctg x принимает положительные значения?
8. При каких значениях x каждая из функций
у = sinx, у = cosx принимает наибольшее и наименьшее значения?
9. Назвать область определения каждой из функций
у = arcsin x, у = arccos x.
10. Назвать множество значений каждой из функций
y = arctgx, y = arcctgx.

1. $$y=\sin x,\quad E(y)=[-1;1]$$

   $$y=\cos x,\quad E(y)=[-1;1]$$

2. $$y=\tg x,\quad D(y):\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$

   $$y=\ctg x,\quad D(y):\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z$$

3. Чётной является функция $$y=\cos x,$$ так как

   $$\cos(-x)=\cos x.$$

4. Функция называется периодической, если существует число $$T\ne 0,$$ такое, что для любого $$x$$ из области определения функции числа $$x+T$$ и $$x-T$$ тоже принадлежат области определения и выполняется равенство

   $$f(x-T)=f(x)=f(x+T).$$

   Число $$T$$ называется периодом функции.

5. Примеры функций с указанным наименьшим положительным периодом:

   $$T=2\pi:\ y=\sin x$$

   $$T=\pi:\ y=\tg x$$

   $$T=\frac{\pi}{2}:\ y=\ctg 2x$$

   $$T=3\pi:\ y=\cos \frac{2x}{3}$$

6. Промежутки возрастания:

   $$y=\sin x,\quad x\in \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in \mathbb Z$$

   $$y=\cos x,\quad x\in \left[-\pi+2\pi n;\ 2\pi n\right],\ n\in \mathbb Z$$

7. Положительные значения:

   $$y=\tg x,\quad x\in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$

   $$y=\ctg x,\quad x\in \left(\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$

8. Наибольшее и наименьшее значения:

   $$y=\sin x:\quad y_{\max}=1 \text{ при } x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y_{\min}=-1 \text{ при } x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   $$y=\cos x:\quad y_{\max}=1 \text{ при } x=2\pi n,\quad y_{\min}=-1 \text{ при } x=\pi+2\pi n$$

9. Область определения:

   $$y=\arcsin x,\quad D(y)=[-1;1]$$

   $$y=\arccos x,\quad D(y)=[-1;1]$$

10. Множество значений:

    $$y=\arctg x,\quad E(y)=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$

    $$y=\arcctg x,\quad E(y)=(0;\pi)$$

Ответ

1) $$E(\sin x)=E(\cos x)=[-1;1].$$ 2) $$D(\tg x)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\right\},\ D(\ctg x)=\mathbb R\setminus\{\pi n\},\ n\in\mathbb Z.$$ 3) Чётная функция — $$y=\cos x.$$ 4) Периодическая функция — это функция, для которой существует $$T\ne 0$$ и $$f(x+T)=f(x)$$ для всех допустимых $$x$$. 5) Примеры: $$\sin x,\ \tg x,\ \ctg 2x,\ \cos\frac{2x}{3}.$$ 6) $$\sin x$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$ $$\cos x$$ — на $$\left[-\pi+2\pi n;2\pi n\right].$$ 7) $$\tg x>0$$ на $$\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$ $$\ctg x>0$$ на $$\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right).$$ 8) Для $$\sin x$$: $$\max=1,\ \min=-1$$; для $$\cos x$$: $$\max=1,\ \min=-1.$$ 9) $$D(\arcsin x)=D(\arccos x)=[-1;1].$$ 10) $$E(\arctg x)=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),\ E(\arcctg x)=(0;\pi).$$