Ответы на вопросы Глава 7 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Два комплексных числа $$a+bi$$ и $$c+di$$ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть $$a=c$$ и $$b=d$$.

2. Арифметические операции:

   $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

   $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

   $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

   $$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

3. Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами:

   переместительным:

   $$z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1$$

   сочетательным:

   $$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$$

   распределительным:

   $$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$$

4. Умножение комплексных чисел всегда выполнимо. Деление возможно на любое ненулевое комплексное число, то есть при $$z_2\ne 0$$.

5. Чисто мнимыми называют комплексные числа, действительная часть которых равна нулю: $$0+bi=bi$$.

6. Сопряжённым к числу $$z=a+bi$$ называется число $$\overline{z}=a-bi$$.

7. Противоположным комплексному числу $$z=a+bi$$ называется число $$-z=-a-bi$$.

8. На комплексной плоскости число $$z=a+bi$$ изображается точкой с координатами $$\left(a;b\right)$$.

9. Числа $$z$$ и $$\overline{z}$$ симметричны относительно действительной оси, а числа $$z$$ и $$-z$$ симметричны относительно начала координат.

10. Модуль комплексного числа $$z=a+bi$$ — это расстояние от начала координат до точки $$z$$:

    $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

11. Модуль разности двух комплексных чисел показывает расстояние между соответствующими точками на комплексной плоскости:

    $$|z_1-z_2|=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}$$

12. Аргумент комплексного числа $$z\ne 0$$ — это угол $$\varphi$$ между положительным направлением действительной оси и вектором $$Oz$$.

13. Тригонометрическая форма комплексного числа:

    $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),$$

    где $$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$, $$\varphi$$ — аргумент числа.

14. Чтобы перейти от алгебраической формы $$z=a+bi$$ к тригонометрической, находят

    $$r=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \varphi=\arg z,$$

    после чего записывают

    $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

15. Число $$z$$ называется корнем степени $$n$$ из числа $$w$$, если

    $$z^n=w.$$

16. Если $$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$$ и $$z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$$, то

    $$z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr)$$

    $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\bigr)$$

    $$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$$

    $$z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\qquad k=0,1,\dots,n-1$$

17. Основная теорема алгебры: любое алгебраическое уравнение степени $$n>1$$ с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

    Следствие: любое алгебраическое уравнение степени $$n\ge 1$$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $$n$$ комплексных корней, если каждый корень считать с его кратностью.

Ответ

1) $$a+bi=c+di \iff a=c,\ b=d$$; 2) формулы сложения, вычитания, умножения и деления записаны выше; 3) переместительное, сочетательное и распределительное свойства; 4) умножение всегда выполнимо, деление — на любое ненулевое число; 5) числа вида $$bi$$; 6) $$\overline{z}=a-bi$$; 7) $$-z=-a-bi$$; 8) точка $$\left(a;b\right)$$ на комплексной плоскости; 9) $$z$$ и $$\overline{z}$$ симметричны относительно действительной оси, $$z$$ и $$-z$$ — относительно начала координат; 10) $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$; 11) расстояние между точками; 12) угол $$\varphi$$ между осью $$Ox$$ и вектором $$Oz$$; 13) $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$; 14) найти $$r$$ и $$\varphi$$ и подставить в формулу; 15) $$z^n=w$$; 16) формулы умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня; 17) формулировка основной теоремы алгебры и следствие указаны выше.