Ответы на вопросы Глава 7 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1. Как определяется равенство комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?
2. Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?
3. Какими свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел?
4. Всегда ли выполнима операция умножения комплексных чисел? Всегда ли одно комплексное число можно разделить на другое?
5. Какие числа называют чисто мнимыми?
6. Какое число называют сопряжённым комплексному числу а + bi?
7. Какое число называют противоположным комплексному числу а + bi?
8. Как геометрически интерпретируются комплексные числа?
9. Каково взаимное расположение на комплексной плоскости чисел: a) z и z; б) z и (-z)?
10. Что называется модулем комплексного числа?
11. В чём состоит геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел?
12. Что называется аргументом комплексного числа?
13. Как записываются комплексные числа в тригонометрической форме?
14. Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме?
15. Что называется корнем степени n(n > 1, n принадлежит N) из комплексного числа?
16. Как производится умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?
17. Сформулировать основную теорему алгебры и следствие из неё об алгебраическом уравнении n-й степени (n > 1).
Два комплексных числа $$a+bi$$ и $$c+di$$ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть $$a=c$$ и $$b=d$$.
Арифметические операции:
$$ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i $$
$$ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i $$
$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i $$
$$ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i $$
Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами:
переместительным:
$$ z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1 $$
сочетательным:
$$ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3) $$
распределительным:
$$ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 $$
Умножение комплексных чисел всегда выполнимо. Деление возможно на любое ненулевое комплексное число, то есть при $$z_2\ne 0$$.
Чисто мнимыми называют комплексные числа, действительная часть которых равна нулю: $$0+bi=bi$$.
Сопряжённым к числу $$z=a+bi$$ называется число $$\overline{z}=a-bi$$.
Противоположным комплексному числу $$z=a+bi$$ называется число $$-z=-a-bi$$.
На комплексной плоскости число $$z=a+bi$$ изображается точкой с координатами $$\left(a;b\right)$$.
Числа $$z$$ и $$\overline{z}$$ симметричны относительно действительной оси, а числа $$z$$ и $$-z$$ симметричны относительно начала координат.
Модуль комплексного числа $$z=a+bi$$ — это расстояние от начала координат до точки $$z$$:
$$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$
Модуль разности двух комплексных чисел показывает расстояние между соответствующими точками на комплексной плоскости:
$$ |z_1-z_2|=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2} $$
Аргумент комплексного числа $$z\ne 0$$ — это угол $$\varphi$$ между положительным направлением действительной оси и вектором $$Oz$$.
Тригонометрическая форма комплексного числа:
$$ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), $$
где $$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$, $$\varphi$$ — аргумент числа.
Чтобы перейти от алгебраической формы $$z=a+bi$$ к тригонометрической, находят
$$ r=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \varphi=\arg z, $$
после чего записывают
$$ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi). $$
Число $$z$$ называется корнем степени $$n$$ из числа $$w$$, если
$$ z^n=w. $$
Если $$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$$ и $$z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$$, то
$$ z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\bigr) $$
$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\bigr) $$
$$ z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi) $$
$$ z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\qquad k=0,1,\dots,n-1 $$
Основная теорема алгебры: любое алгебраическое уравнение степени $$n>1$$ с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Следствие: любое алгебраическое уравнение степени $$n\ge 1$$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $$n$$ комплексных корней, если каждый корень считать с его кратностью.
Ответ
1) $$a+bi=c+di \iff a=c,\ b=d$$; 2) формулы сложения, вычитания, умножения и деления записаны выше; 3) переместительное, сочетательное и распределительное свойства; 4) умножение всегда выполнимо, деление — на любое ненулевое число; 5) числа вида $$bi$$; 6) $$\overline{z}=a-bi$$; 7) $$-z=-a-bi$$; 8) точка $$\left(a;b\right)$$ на комплексной плоскости; 9) $$z$$ и $$\overline{z}$$ симметричны относительно действительной оси, $$z$$ и $$-z$$ — относительно начала координат; 10) $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$; 11) расстояние между точками; 12) угол $$\varphi$$ между осью $$Ox$$ и вектором $$Oz$$; 13) $$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$; 14) найти $$r$$ и $$\varphi$$ и подставить в формулу; 15) $$z^n=w$$; 16) формулы умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня; 17) формулировка основной теоремы алгебры и следствие указаны выше.
