Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2. Сформулировать правило произведения.
3. Какие соединения называют размещениями с повторениями? Чему равно число размещений с повторениями из m элементов по n?
4. Какие соединения называют перестановками? Чему равно число перестановок из п элементов?
5. Какие соединения называют размещениями (без повторений)? Чему равно число размещений (без повторений) из m элементов по n?
6. Какие соединения называют сочетаниями (без повторений)? Чему равно число сочетаний (без повторений) из m элементов по n?
7. Перечислить свойства сочетаний без повторений.
8. Что такое треугольник Паскаля?
9. Записать формулу бинома Ньютона.

1. Комбинаторика занимается решением задач, связанных с выбором и расположением элементов множества в соответствии с заданными правилами.

2. Если существует $$n$$ вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется $$m$$ вариантов выбора второго элемента, то существует $$n \cdot m$$ различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

3. Соединения, содержащие $$n$$ элементов, выбираемых из $$m$$ различных видов, и отличающиеся одно от другого составом или порядком следования элементов, называют размещениями с повторениями из $$m$$ по $$n$$:

   $$A_m^n = m^n.$$

4. Перестановками из $$n$$ различных элементов называются соединения, которые состоят из имеющихся $$n$$ элементов и отличаются только порядком их расположения:

   $$P_n = n!.$$

5. Размещениями из $$m$$ элементов по $$n$$ элементов $$(n \le m)$$ называются такие соединения, каждое из которых содержит $$n$$ элементов, взятых из данных $$m$$ разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения:

   $$A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}.$$

6. Сочетаниями из $$m$$ элементов по $$n$$ в каждом $$(n \le m)$$ называются такие соединения, каждое из которых содержит $$n$$ элементов, взятых из данных $$m$$ различных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом:

   $$C_m^n = \frac{A_m^n}{P_n} = \frac{m!}{(m-n)! \, n!}.$$

7. Свойства сочетаний без повторений:

   $$C_m^n = C_m^{m-n}, \qquad C_m^n + C_m^{n+1} = C_{m+1}^{n+1}.$$

8. Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму, на вершине и по бокам которой стоят единицы, а каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним.

9. Формула бинома Ньютона:

   $$ (a+b)^m = C_m^0 a^m + C_m^1 a^{m-1}b + \dots + C_m^{m-1}ab^{m-1} + C_m^m b^m. $$

Ответ

1) Комбинаторика изучает задачи о выборе и расположении элементов множества. 2) $$n \cdot m$$. 3) $$A_m^n = m^n$$. 4) $$P_n = n!$$. 5) $$A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}$$. 6) $$C_m^n = \frac{m!}{(m-n)! \, n!}$$. 7) $$C_m^n = C_m^{m-n}$$, $$C_m^n + C_m^{n+1} = C_{m+1}^{n+1}$$. 8) Треугольник Паскаля — таблица биномиальных коэффициентов. 9) $$ (a+b)^m = C_m^0 a^m + C_m^1 a^{m-1}b + \dots + C_m^m b^m $$.