Ответы на вопросы Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Что называется первообразной для функции $$y=f(x)$$ на некотором интервале?
Как задать все первообразные функции $$y=f(x)$$, если $$F(x)$$ — одна из них?
Записать формулы первообразных для функций $$y=x^p\ (p\ne1)$$, $$y=\frac{1}{x}\ (x>0,\ x<0)$$, $$y=e^x$$, $$y=\sin x$$, $$y=\cos x$$.
Перечислить правила нахождения первообразных.
Привести пример криволинейной трапеции.
Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
Записать формулу Ньютона—Лейбница.
Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле.
Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле.
Как с помощью интеграла найти путь по заданной скорости, вычислить работу переменной силы?
Какую сумму называют интегральной суммой функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$(a;b]$$?
Что называют определённым интегралом от функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$?
Какое уравнение называют уравнением гармонического колебания? Как записывается его решение?

Подробный ответ

Функция $$F(x)$$ называется первообразной для функции $$f(x)$$ на некотором интервале, если для всех $$x$$ из этого интервала выполняется равенство
$$F'(x)=f(x).$$
Если $$F(x)$$ — одна из первообразных для $$f(x)$$, то все первообразные задаются формулой
$$F(x)+C,$$
где $$C$$ — произвольная постоянная.
Формулы первообразных:
$$\int x^p\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C,\quad p\ne -1;$$
$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,\quad x\ne 0;$$
$$\int e^x\,dx=e^x+C;$$
$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C;$$
$$\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$
Если $$F'(x)=f(x)$$ и $$G'(x)=g(x)$$, то при постоянных $$a$$, $$b$$, $$k\ne 0$$ верны правила:
$$\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=F(x)+G(x)+C;$$
$$\int a f(x)\,dx=aF(x)+C;$$
$$\int f(kx+b)\,dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C.$$
Пример криволинейной трапеции — фигура, ограниченная графиком $$y=e^{x-2}$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=1$$, $$x=4$$.
Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную отрезками прямых $$x=a$$, $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком непрерывной функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)\ge 0$$ на отрезке $$[a;b]$$.
Формула Ньютона—Лейбница:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$$
где $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$.
Пример фигуры, площадь которой можно вычислить по этой формуле: область, ограниченная графиком $$y=x^2-4$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, где $$-2<a<b<2$$.
Пример фигуры, площадь которой можно вычислить по этой формуле: область, ограниченная графиками $$y=x^2$$ и $$y=8-x^2$$, а также прямыми $$x=a$$ и $$x=b$$, где $$-2<a<b<2$$.
С помощью интеграла путь по заданной скорости находят по формуле
$$s=\int_a^b v(t)\,dt,$$
а работу переменной силы — по формуле
$$A=\int_a^b F(x)\,dx.$$
Интегральной суммой функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ называют сумму вида
$$f(c_1)\Delta x_1+f(c_2)\Delta x_2+\cdots+f(c_n)\Delta x_n,$$
где $$\Delta x_i$$ — длины частичных отрезков, а $$c_i$$ — точки этих отрезков.
Определённым интегралом функции $$y=f(x)$$ на отрезке $$[a;b]$$ называют предел интегральных сумм при стремлении длины наибольшего частичного отрезка к нулю:
$$\int_a^b f(x)\,dx.$$
Уравнением гармонического колебания называют дифференциальное уравнение
$$y»+\omega^2y=0.$$
Его решения имеют вид
$$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x.$$

Ответ

1) $$F'(x)=f(x)$$. 2) $$F(x)+C$$. 3) $$\int x^p\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$$, $$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$$, $$\int e^x\,dx=e^x+C$$, $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$$, $$\int \cos x\,dx=\sin x+C$$. 4) Правила: сумма, умножение на постоянную, замена линейного аргумента. 5)–9) Примеры указаны выше. 10) $$s=\int_a^b v(t)\,dt$$, $$A=\int_a^b F(x)\,dx$$. 11) $$f(c_1)\Delta x_1+\cdots+f(c_n)\Delta x_n$$. 12) $$\int_a^b f(x)\,dx$$. 13) $$y»+\omega^2y=0$$, $$y=C_1\cos \omega x+C_2\sin \omega x$$.