Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?
2. Сформулировать достаточное условие возрастания (убывания) функции.
3. Сформулировать определение точки максимума (минимума) функции.
4. Сформулировать теорему Ферма.
5. Сформулировать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
6. Дать определение стационарной точке функции.
7. Дать определение критической точке функции.
8. Сформулировать достаточные условия экстремума.
9. Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на заданном отрезке?
10. Сформулировать тоорому Лагранжа.
11. Доказать достаточное условие возрастания (убывания) функции.
12. Доказать достаточные условия экстремума.
13. Дать определение производной второго порядка.
14. Сформулировать определение выпуклости вверх (вниз) функции.
15. Дать определение точке перегиба функции.
16. Как с помощью второй производной выяснить, является ли функция выпуклой вверх (вниз) на интервале; имеет ли точку перегиба?
17. Пояснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.
18. При каком условии прямая у = кх + Ь является асимптотой графика функции у = f(x) при х — > +бесконечность?

1. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого промежутка, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)>f(x_1)$$.

   Если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из данного промежутка, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)<f(x_1)$$, то функция называется убывающей на промежутке.

2. Пусть функция $$f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$ и дифференцируема на интервале $$(a;b)$$. Тогда, если $$f'(x)>0$$ для всех $$x\in(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ возрастает на отрезке $$[a;b]$$; если $$f'(x)<0$$, то она убывает на этом отрезке.

3. Точка $$x_0$$ называется точкой максимума функции $$f(x)$$, если для всех $$x\ne x_0$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)<f(x_0)$$.

   Точка $$x_0$$ называется точкой минимума функции $$f(x)$$, если для всех $$x\ne x_0$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)>f(x_0)$$.

4. Если функция $$f(x)$$ определена в некоторой окрестности точки $$x_0$$ и дифференцируема в этой точке, и если $$x_0$$ — точка экстремума функции $$f(x)$$, то $$f'(x_0)=0$$.

5. Условие $$f'(x_0)=0$$ является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции $$f(x)$$, то есть если $$x=x_0$$ — точка экстремума дифференцируемой функции, то $$f'(x_0)=0$$.

6. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками этой функции.

7. Критическая точка функции $$f(x)$$ — это внутренняя точка области определения непрерывной функции, в которой эта функция не имеет производной или $$f'(x)=0$$.

8. Пусть функция $$f(x)$$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $$x_0$$, кроме, быть может, самой точки $$x_0$$, и непрерывна в точке $$x_0$$. Тогда:

   1) если $$f'(x)$$ меняет знак с «$$-$$» на «$$+$$» при переходе через точку $$x_0$$, то $$x_0$$ — точка минимума функции $$f(x)$$;

   2) если $$f'(x)$$ меняет знак с «$$+$$» на «$$-$$» при переходе через точку $$x_0$$, то $$x_0$$ — точка максимума функции $$f(x)$$.

9. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на заданном отрезке, нужно:

   1. найти критические точки функции;
   2. найти значения функции в этих точках;
   3. найти значения функции на границах отрезка;
   4. из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

10. Если функция $$f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$ и дифференцируема на интервале $$(a;b)$$, то существует точка $$c\in(a;b)$$ такая, что

    $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

11. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — произвольные точки отрезка $$[a;b]$$, такие что $$x_1<x_2$$. Применяя к отрезку $$[x_1;x_2]$$ формулу Лагранжа, получаем:

    $$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1), \quad c\in(x_1;x_2).$$

    Так как $$x_2-x_1>0$$, то из этого равенства следует, что при $$f'(x)>0$$ выполняется неравенство $$f(x_2)>f(x_1)$$, а при $$f'(x)<0$$ — неравенство $$f(x_2)<f(x_1)$$. Значит, если $$f'(x)>0$$, то функция $$f(x)$$ возрастает на отрезке $$[a;b]$$, а если $$f'(x)<0$$, то она убывает на этом отрезке.

12. Пусть $$f'(x)$$ меняет знак с «$$-$$» на «$$+$$» при переходе через точку $$x_0$$. Тогда $$f'(x)<0$$ при $$a<x<x_0$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x_0<x<b$$.

    Следовательно, $$f(x)$$ убывает на $$(a;x_0]$$ и возрастает на $$[x_0;b)$$, значит, $$f(x_0)$$ — наименьшее значение функции на интервале $$(a;b)$$, поэтому $$x_0$$ — точка минимума функции $$f(x)$$.

    Аналогично рассматривается случай максимума.

13. Если функция $$f'(x)$$ дифференцируема на интервале $$(a;b)$$, то её производную называют производной второго порядка функции $$f(x)$$ и обозначают $$f»(x)$$, то есть

    $$f»(x)=\bigl(f'(x)\bigr)’.$$

14. Функция $$y=f(x)$$, дифференцируемая на интервале $$(a;b)$$, называется выпуклой вверх на этом интервале, если $$f'(x)$$ убывает на $$(a;b)$$, и выпуклой вниз, если $$f'(x)$$ возрастает на $$(a;b)$$.

15. Пусть $$f(x)$$ дифференцируема на $$(a;b)$$, $$x_0\in(a;b)$$ и пусть эта функция выпукла вверх на одном из интервалов $$(a;x_0)$$, $$(x_0;b)$$ и выпукла вниз на другом интервале. Тогда точка $$x_0$$ называется точкой перегиба этой функции, а точка $$(x_0;f(x_0))$$ — точкой перегиба графика функции $$y=f(x)$$.

16. Если функция $$f(x)$$ имеет производную второго порядка на некотором заданном интервале $$(a;b)$$, то:

    1. находят функцию $$y=f»(x)$$;
    2. если $$f»(x)<0$$ на $$(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ выпукла вверх;
    3. если $$f»(x)>0$$ на $$(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ выпукла вниз;
    4. если $$f»(x_0)=0$$ при $$a<x_0<b$$ и знаки функции $$f»(x)$$ на интервалах $$(a;x_0)$$ и $$(x_0;b)$$ отличаются, то точка $$x_0$$ является точкой перегиба функции $$f(x)$$.

17. На интервале $$(a;b)$$ найдётся такая точка $$c$$, что касательная к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$C(c;f(c))$$ параллельна секущей, которая проходит через точки $$A(a;f(a))$$ и $$B(b;f(b))$$.

18. Для того чтобы прямая $$y=kx+b$$ была асимптотой графика функции $$y=f(x)$$ при $$x\to+\infty$$, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

    $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr)=b.$$

Ответ

1) Возрастающая функция: при большем значении аргумента значение функции больше; убывающая: при большем значении аргумента значение функции меньше. 2) Если $$f'(x)>0$$, то функция возрастает; если $$f'(x)<0$$, то убывает. 3) $$x_0$$ — точка максимума, если в некоторой окрестности $$f(x)<f(x_0)$$; минимума — если $$f(x)>f(x_0)$$. 4) Теорема Ферма: если функция дифференцируема в точке экстремума, то $$f'(x_0)=0$$. 5) Необходимое условие экстремума: $$f'(x_0)=0$$. 6) Стационарные точки — точки, где $$f'(x)=0$$. 7) Критические точки — внутренние точки области определения, где производная не существует или равна нулю. 8) При смене знака $$f'(x)$$ с «$$-$$» на «$$+$$» — минимум, с «$$+$$» на «$$-$$» — максимум. 9) Найти критические точки, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, затем выбрать наибольшее и наименьшее. 10) Формула Лагранжа: $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$. 11) Достаточное условие возрастания/убывания доказывается по формуле Лагранжа. 12) При смене знака $$f'(x)$$ с «$$-$$» на «$$+$$» — минимум, с «$$+$$» на «$$-$$» — максимум. 13) $$f»(x)=\bigl(f'(x)\bigr)’$$. 14) Выпуклость вверх: $$f'(x)$$ убывает; выпуклость вниз: $$f'(x)$$ возрастает. 15) Точка перегиба — точка, в которой меняется выпуклость графика. 16) По знаку $$f»(x)$$: $$f»(x)<0$$ — выпуклость вверх, $$f»(x)>0$$ — выпуклость вниз; при смене знака $$f»(x)$$ в точке $$x_0$$ — точка перегиба. 17) Геометрический смысл теоремы Лагранжа: существует точка, в которой касательная параллельна секущей. 18) Прямая $$y=kx+b$$ — асимптота при $$x\to+\infty$$, если $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k$$ и $$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-kx)=b$$.