Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого промежутка, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)>f(x_1)$$.

   Если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из данного промежутка, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)<f(x_1)$$, то функция называется убывающей на промежутке.

2. Пусть функция $$f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$ и дифференцируема на интервале $$(a;b)$$. Тогда, если $$f'(x)>0$$ для всех $$x\in(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ возрастает на отрезке $$[a;b]$$; если $$f'(x)<0$$, то она убывает на этом отрезке.

3. Точка $$x_0$$ называется точкой максимума функции $$f(x)$$, если для всех $$x\ne x_0$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)<f(x_0)$$.

   Точка $$x_0$$ называется точкой минимума функции $$f(x)$$, если для всех $$x\ne x_0$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)>f(x_0)$$.

4. Если функция $$f(x)$$ определена в некоторой окрестности точки $$x_0$$ и дифференцируема в этой точке, и если $$x_0$$ — точка экстремума функции $$f(x)$$, то $$f'(x_0)=0$$.

5. Условие $$f'(x_0)=0$$ является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции $$f(x)$$, то есть если $$x=x_0$$ — точка экстремума дифференцируемой функции, то $$f'(x_0)=0$$.

6. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками этой функции.

7. Критическая точка функции $$f(x)$$ — это внутренняя точка области определения непрерывной функции, в которой эта функция не имеет производной или $$f'(x)=0$$.

8. Пусть функция $$f(x)$$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $$x_0$$, кроме, быть может, самой точки $$x_0$$, и непрерывна в точке $$x_0$$. Тогда:

   1) если $$f'(x)$$ меняет знак с «$$-$$» на «$$+$$» при переходе через точку $$x_0$$, то $$x_0$$ — точка минимума функции $$f(x)$$;

   2) если $$f'(x)$$ меняет знак с «$$+$$» на «$$-$$» при переходе через точку $$x_0$$, то $$x_0$$ — точка максимума функции $$f(x)$$.

9. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на заданном отрезке, нужно:

   1. найти критические точки функции;
   2. найти значения функции в этих точках;
   3. найти значения функции на границах отрезка;
   4. из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

10. Если функция $$f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$ и дифференцируема на интервале $$(a;b)$$, то существует точка $$c\in(a;b)$$ такая, что

    $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

11. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — произвольные точки отрезка $$[a;b]$$, такие что $$x_1<x_2$$. Применяя к отрезку $$[x_1;x_2]$$ формулу Лагранжа, получаем:

    $$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1), \quad c\in(x_1;x_2).$$

    Так как $$x_2-x_1>0$$, то из этого равенства следует, что при $$f'(x)>0$$ выполняется неравенство $$f(x_2)>f(x_1)$$, а при $$f'(x)<0$$ — неравенство $$f(x_2)<f(x_1)$$. Значит, если $$f'(x)>0$$, то функция $$f(x)$$ возрастает на отрезке $$[a;b]$$, а если $$f'(x)<0$$, то она убывает на этом отрезке.

12. Пусть $$f'(x)$$ меняет знак с «$$-$$» на «$$+$$» при переходе через точку $$x_0$$. Тогда $$f'(x)<0$$ при $$a<x<x_0$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x_0<x<b$$.

    Следовательно, $$f(x)$$ убывает на $$(a;x_0]$$ и возрастает на $$[x_0;b)$$, значит, $$f(x_0)$$ — наименьшее значение функции на интервале $$(a;b)$$, поэтому $$x_0$$ — точка минимума функции $$f(x)$$.

    Аналогично рассматривается случай максимума.

13. Если функция $$f'(x)$$ дифференцируема на интервале $$(a;b)$$, то её производную называют производной второго порядка функции $$f(x)$$ и обозначают $$f»(x)$$, то есть

    $$f»(x)=\bigl(f'(x)\bigr)’.$$

14. Функция $$y=f(x)$$, дифференцируемая на интервале $$(a;b)$$, называется выпуклой вверх на этом интервале, если $$f'(x)$$ убывает на $$(a;b)$$, и выпуклой вниз, если $$f'(x)$$ возрастает на $$(a;b)$$.

15. Пусть $$f(x)$$ дифференцируема на $$(a;b)$$, $$x_0\in(a;b)$$ и пусть эта функция выпукла вверх на одном из интервалов $$(a;x_0)$$, $$(x_0;b)$$ и выпукла вниз на другом интервале. Тогда точка $$x_0$$ называется точкой перегиба этой функции, а точка $$(x_0;f(x_0))$$ — точкой перегиба графика функции $$y=f(x)$$.

16. Если функция $$f(x)$$ имеет производную второго порядка на некотором заданном интервале $$(a;b)$$, то:

    1. находят функцию $$y=f»(x)$$;
    2. если $$f»(x)<0$$ на $$(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ выпукла вверх;
    3. если $$f»(x)>0$$ на $$(a;b)$$, то функция $$f(x)$$ выпукла вниз;
    4. если $$f»(x_0)=0$$ при $$a<x_0<b$$ и знаки функции $$f»(x)$$ на интервалах $$(a;x_0)$$ и $$(x_0;b)$$ отличаются, то точка $$x_0$$ является точкой перегиба функции $$f(x)$$.

17. На интервале $$(a;b)$$ найдётся такая точка $$c$$, что касательная к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$C(c;f(c))$$ параллельна секущей, которая проходит через точки $$A(a;f(a))$$ и $$B(b;f(b))$$.

18. Для того чтобы прямая $$y=kx+b$$ была асимптотой графика функции $$y=f(x)$$ при $$x\to+\infty$$, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

    $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr)=b.$$

Ответ

1) Возрастающая функция: при большем значении аргумента значение функции больше; убывающая: при большем значении аргумента значение функции меньше. 2) Если $$f'(x)>0$$, то функция возрастает; если $$f'(x)<0$$, то убывает. 3) $$x_0$$ — точка максимума, если в некоторой окрестности $$f(x)<f(x_0)$$; минимума — если $$f(x)>f(x_0)$$. 4) Теорема Ферма: если функция дифференцируема в точке экстремума, то $$f'(x_0)=0$$. 5) Необходимое условие экстремума: $$f'(x_0)=0$$. 6) Стационарные точки — точки, где $$f'(x)=0$$. 7) Критические точки — внутренние точки области определения, где производная не существует или равна нулю. 8) При смене знака $$f'(x)$$ с «$$-$$» на «$$+$$» — минимум, с «$$+$$» на «$$-$$» — максимум. 9) Найти критические точки, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, затем выбрать наибольшее и наименьшее. 10) Формула Лагранжа: $$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$. 11) Достаточное условие возрастания/убывания доказывается по формуле Лагранжа. 12) При смене знака $$f'(x)$$ с «$$-$$» на «$$+$$» — минимум, с «$$+$$» на «$$-$$» — максимум. 13) $$f»(x)=\bigl(f'(x)\bigr)’$$. 14) Выпуклость вверх: $$f'(x)$$ убывает; выпуклость вниз: $$f'(x)$$ возрастает. 15) Точка перегиба — точка, в которой меняется выпуклость графика. 16) По знаку $$f»(x)$$: $$f»(x)<0$$ — выпуклость вверх, $$f»(x)>0$$ — выпуклость вниз; при смене знака $$f»(x)$$ в точке $$x_0$$ — точка перегиба. 17) Геометрический смысл теоремы Лагранжа: существует точка, в которой касательная параллельна секущей. 18) Прямая $$y=kx+b$$ — асимптота при $$x\to+\infty$$, если $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k$$ и $$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-kx)=b$$.