Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Перечислить способы задания числовой последовательности.
2. Какая последовательность называется сходящейся?
3. Какая последовательность называется монотонной?
4. Привести пример функции, имеющей вертикальную (горизонтальную) асимптоту.
5. Привести пример непрерывной функции и построить её график.
6. Что называется мгновенной скоростью?
7. Что называется производной функции f(x) в точке х0?
8. В чём состоит физический смысл производной?
9. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного.
10. Чему равна производная функции у = х^p (р принадлежит R); y=sinx; y = cosx; у = е^х?
11. Что называется угловым коэффициентом прямой?
12. Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей через точку (х0; у0).
13. В чём состоит геометрический смысл производной?
14. Что называется пределом последовательности?
15. Что называется пределом функции?
16. Какая функция называется непрерывной в точке а?
17. Как найти производную сложной функции? обратной функции?
18. Вывести формулу для нахождения производной функции У = tgx; y = ctgx.
19. Какую прямую называют касательной к графику функции в данной точке?
20. Что называется пределом слева (справа) функции f(x) в точке а?
21. Какую функцию называют бесконечно малой?
22. Сформулировать свойства предела функции.
23. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.
24. Чему равна производная функции y = arcsinx? y = arctgx?
25. Что называется дифференциалом функции в точке?
26. В чём состоит геометрический и физический смысл дифференциала?

1. Способы задания последовательности:

   • словесный — описанием закономерности;
   • аналитический — формулой $n$-го члена;
   • рекуррентный — через предыдущие члены.

2. Сходящейся называется последовательность, для которой существует предел при $n \to +\infty$.

3. Монотонной называют возрастающую, неубывающую, убывающую и невозрастающую последовательности.

4. Пример функции с асимптотами:

   $$y=\frac{1}{(x+1)^2}+2.$$

   Вертикальная асимптота: $$x=-1.$$

   Горизонтальная асимптота: $$y=2.$$

5. Пример непрерывной функции:

   $$y=(x-2)^3+1.$$

6. Мгновенной скоростью точки в момент $t$ называют предел, к которому стремится средняя скорость при $h \to 0$:

   $$v(t)=\lim_{h\to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.$$

7. Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел разностного отношения при $h \to 0$:

   $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

8. Физический смысл производной: производная функции пути $s(t)$ равна мгновенной скорости:

   $$v(t)=s'(t).$$

9. Правила дифференцирования:

   $$\bigl(f(x)+g(x)\bigr)’=f'(x)+g'(x),$$

   $$\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x),$$

   $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}, \quad g(x)\ne 0.$$

10. Производные основных функций:

    $$\bigl(x^p\bigr)’=p x^{p-1}, \quad p\in \mathbb{R},$$

    $$\bigl(\sin x\bigr)’=\cos x,$$

    $$\bigl(\cos x\bigr)’=-\sin x,$$

    $$\bigl(e^x\bigr)’=e^x.$$

11. Угловым коэффициентом прямой называют число $k$ в уравнении $$y=kx+b.$$

12. Уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $(x_0;y_0)$:

    $$y-y_0=k(x-x_0).$$

13. Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

    $$f'(x_0)=\tan \alpha.$$

14. Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N$, что при всех $n\ge N$ выполняется неравенство

    $$|x_n-a|<\varepsilon.$$

    Обозначение:

    $$\lim_{n\to\infty}x_n=a.$$

15. Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что при всех $x$, удовлетворяющих условию

    $$0<|x-a|<\delta,$$

    выполняется неравенство

    $$|f(x)-A|<\varepsilon.$$

    Обозначение:

    $$\lim_{x\to a}f(x)=A.$$

16. Функция называется непрерывной в точке $a$, если

    $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

17. Производная сложной функции:

    $$\bigl(f(g(x))\bigr)’=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

    Если $y=f(u)$ и $u=\varphi(x)$, то

    $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.$$

    Производная обратной функции:

    $$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(\varphi(y))}, \quad f'(\varphi(y))\ne 0.$$

18. Производные функций $$y=\tg x$$ и $$y=\ctg x$$:

    $$\bigl(\tg x\bigr)’=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$

    $$\bigl(\ctg x\bigr)’=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

19. Касательной к графику функции в данной точке называют прямую, проходящую через эту точку и имеющую с графиком в ней общий наклон, равный производной в этой точке.

    Уравнение касательной:

    $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

20. Предел слева и справа:

    $$\lim_{x\to a-0}f(x)=A,$$

    если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что при $a-\delta<x<a$ выполняется

    $$|f(x)-A|<\varepsilon.$$

    Аналогично,

    $$\lim_{x\to a+0}f(x)=A,$$

    если при $a<x<a+\delta$ выполняется

    $$|f(x)-A|<\varepsilon.$$

21. Функцию $f(x)$ называют бесконечно малой при $x\to a$, если

    $$\lim_{x\to a}f(x)=0.$$

22. Свойства предела функции:

    • если $$\lim_{x\to a}f(x)=A$$ и $$\lim_{x\to a}g(x)=B,$$ то $$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=A+B;$$
    • $$\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=AB;$$
    • $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}, \quad B\ne 0;$$
    • если $$f(x)\le \varphi(x)\le g(x)$$ и $$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=A,$$ то $$\lim_{x\to a}\varphi(x)=A.$$

23. Свойства функций, непрерывных на отрезке:

    • если функция непрерывна на $[a;b]$, то она ограничена на этом отрезке;
    • если функция непрерывна на $[a;b]$, то она принимает наибольшее и наименьшее значения;
    • если функция непрерывна на $[a;b]$ и $f(a)\ne f(b)$, то она принимает все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$.

24. Производные функций:

    $$\bigl(\arcsin x\bigr)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|<1,$$

    $$\bigl(\arctg x\bigr)’=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

25. Дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется главная линейная часть приращения функции:

    $$df(x_0)=f'(x_0)\,dx,$$

    где $$dx=\Delta x.$$

26. Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции.

    Физический смысл: если $s(t)$ — путь, то

    $$ds=s'(t)\,dt,$$

    то есть дифференциал пути равен произведению скорости на приращение времени.

Ответ

1) словесный, аналитический, рекуррентный; 2) последовательность, имеющая предел при $n \to +\infty$; 3) возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая; 4) $$y=\frac{1}{(x+1)^2}+2,$$ асимптоты $$x=-1$$ и $$y=2$$; 5) $$y=(x-2)^3+1$$; 6) предел средней скорости при $h \to 0$; 7) $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};$$ 8) $$v(t)=s'(t);$$ 9) формулы дифференцирования суммы, произведения и частного; 10) $$\bigl(x^p\bigr)’=p x^{p-1},\ (\sin x)’=\cos x,\ (\cos x)’=-\sin x,\ (e^x)’=e^x;$$ 11) число $k$ в уравнении $$y=kx+b;$$ 12) $$y-y_0=k(x-x_0);$$ 13) $$f'(x_0)=\tan\alpha;$$ 14) $$\lim_{n\to\infty}x_n=a;$$ 15) $$\lim_{x\to a}f(x)=A;$$ 16) $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a);$$ 17) $$\bigl(f(g(x))\bigr)’=f'(g(x))g'(x),\ \varphi'(y)=\frac{1}{f'(\varphi(y))};$$ 18) $$\bigl(\tg x\bigr)’=\frac{1}{\cos^2 x},\ \bigl(\ctg x\bigr)’=-\frac{1}{\sin^2 x};$$ 19) прямая, проходящая через точку касания и имеющая с графиком в этой точке общий наклон; 20) предел при $x\to a-0$ и $x\to a+0$; 21) функция, предел которой равен $0$; 22) свойства предела: сумма, произведение, частное, теорема о зажатой функции; 23) ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения; 24) $$\bigl(\arcsin x\bigr)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ \bigl(\arctg x\bigr)’=\frac{1}{1+x^2};$$ 25) $$df(x_0)=f'(x_0)\,dx;$$ 26) дифференциал — приращение ординаты касательной, физически $$ds=s'(t)\,dt.$$