Проверь себя Глава 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2. Построить графики функций у = sinx, у = cosx на отрезке [-2пи; -пи]. Для каждой из этих функций найти значения x из данного отрезка, при которых:
1) у(х) = 1;
2) у(х) = -1;
3) у(х) = 0;
4) у(х) > 0;
5) у(х) < 0.
3. Найти все значения x из промежутка [пи/2;2пи], для которых выполняется неравенство cosx < -1/2.
4. Расположить в порядке возрастания числа:
ctgпи/3, ctg7пи/8, ctg5пи/7, ctg2.
1. Построить график функции у = -cos х и найти значения х, при которых функция: а) принимает отрицательные значения; б) убывает.
2. Построить график функции y=sin(пи/3-x) и найти значения х, при которых функция принимает положительные значения.
3. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет уравнение cosx = lgx.
4. Найти множество значений функции у = sin2x + 2cos2x.
5. Исследовать функцию y=1/2sin(2x-пи/3)+1 и построить её график.
$$y=\tg 2x.$$
Область определения:
$$\cos 2x\ne 0,$$
$$2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=\tg(-2x)=-\tg 2x=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
На отрезке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ рассматриваем графики $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$.
Значения функций:
1) $$\sin x=1,\ x=-\frac{3\pi}{2};\qquad \cos x=1,\ x=-2\pi.$$
2) $$\sin x=-1,\ x\in\varnothing;\qquad \cos x=-1,\ x=-\pi.$$
3) $$\sin x=0,\ x=-2\pi,\ -\pi;\qquad \cos x=0,\ x=-\frac{3\pi}{2}.$$
4) $$\sin x>0,\ -2\pi<x<-\pi;\qquad \cos x>0,\ -2\pi<x<-\frac{3\pi}{2}.$$
5) $$\sin x<0,\ x\in\varnothing;\qquad \cos x<0,\ -\frac{3\pi}{2}<x<-\pi.$$
Решим неравенство $$\cos x<-\frac12$$ на промежутке $$\left[\frac{\pi}{2};\,2\pi\right].$$
$$\cos x<-\frac12 \iff \frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$
С учётом заданного промежутка получаем:
$$\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}.$$
Сравним значения котангенсов:
$$\ctg\frac{\pi}{3},\ \ctg\frac{7\pi}{8},\ \ctg\frac{5\pi}{7},\ \ctg 2.$$
Функция $$y=\ctg x$$ убывает на $$\left(0;\pi\right),$$ поэтому большему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Так как
$$\frac{\pi}{3}<2<\frac{5\pi}{7}<\frac{7\pi}{8},$$
то в порядке возрастания:
$$\ctg\frac{7\pi}{8},\ \ctg\frac{5\pi}{7},\ \ctg 2,\ \ctg\frac{\pi}{3}.$$
Для функции $$y=-\cos x$$:
а) отрицательные значения принимает при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
б) убывает на промежутках
$$-\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Для функции $$y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$$ положительные значения получаем из неравенства
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)>0.$$
Тогда
$$2\pi n<\frac{\pi}{3}-x<\pi+2\pi n,$$
$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Уравнение $$\cos x=\lg x$$ имеет столько корней, сколько точек пересечения графиков функций $$y=\cos x$$ и $$y=\lg x.$$
По графику видно, что таких точек три.
Найдём множество значений функции
$$y=\sin^2 x+2\cos 2x.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$y=\sin^2 x+2(1-2\sin^2 x)=2-3\sin^2 x.$$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$-1\le 2-3\sin^2 x\le 2.$$
Следовательно,
$$E(y)=[-1;\,2].$$
Исследуем функцию
$$y=\frac12\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+1.$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;\,+\infty).$$
Множество значений:
$$-1\le \sin\varphi\le 1,$$
$$-\frac12\le \frac12\sin\varphi\le \frac12,$$
$$\frac12\le \frac12\sin\varphi+1\le \frac32.$$
Значит,
$$E(y)=\left[\frac12;\,\frac32\right].$$
Период функции:
$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi.$$
Для построения графика удобно отметить, что это синусоида с амплитудой $$\frac12,$$ осью колебаний $$y=1$$ и сдвигом вправо на $$\frac{\pi}{6}.$$
Ответ
1) $$D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\mid n\in\mathbb Z\right\},$$ функция нечётная.
2) Для $$y=\sin x$$: $$\sin x=1$$ при $$x=-\frac{3\pi}{2}$$; $$\sin x=-1$$ — нет; $$\sin x=0$$ при $$x=-2\pi,\,-\pi$$; $$\sin x>0$$ при $$-2\pi<x<-\pi$$; $$\sin x<0$$ — нет.
Для $$y=\cos x$$: $$\cos x=1$$ при $$x=-2\pi$$; $$\cos x=-1$$ при $$x=-\pi$$; $$\cos x=0$$ при $$x=-\frac{3\pi}{2}$$; $$\cos x>0$$ при $$-2\pi<x<-\frac{3\pi}{2}$$; $$\cos x<0$$ при $$-\frac{3\pi}{2}<x<-\pi$$.
3) $$\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}.$$
4) $$\ctg\frac{7\pi}{8},\ \ctg\frac{5\pi}{7},\ \ctg 2,\ \ctg\frac{\pi}{3}.$$
5) а) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; б) $$-\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
6) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
7) $$3$$ корня.
8) $$E(y)=[-1;\,2].$$
9) $$D(y)=\mathbb R,\ E(y)=\left[\frac12;\,\frac32\right],\ T=\pi.$$
