Проверь себя Глава 7 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) (3 + i) + (5 — 2i);
2) (6 — i) — (2 + 3i);
3) (7 + i) (10-i);
4) 5-2i/7+3i.
2. Вычислить:
1) 2+5i/2-5i + 2-5i/2+5i;
2) (1+i11/2-i7)2.
3. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
1) -1 + i корень 3;
2) sin пи/5 — icos пи/5.
4. Решить уравнение:
1) z2 + 5 = 0;
2) z2 — 10z + 34 = 0.
5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию |z| = 3.
6. Записать в алгебраической форме комплексное число:
z = корень 2/2 (cos пи/4 + isin пи/4).
7. Выполнить действия:
1) (cos 18° + isin 18°)(cos 42° + isin 42°);
2) 9(cos 7пи/3 + isin 7пи/3)/ 18(cos 4пи/3 + isin 4пи//3);
3) корень 5 (cos пи/8 + isin пи/8))4.
8. На множестве комплексных чисел решить уравнение:
1) z4= 16;
2) z3 = 64.

1. $$ (3+i)+(5-2i)=3+5+i-2i=8-i $$

   $$ (6-i)-(2+3i)=6-i-2-3i=4-4i $$

   $$ (7+i)(10-i)=70-7i+10i-i^2=71+3i $$

   $$ \frac{5-2i}{7+3i}=\frac{(5-2i)(7-3i)}{(7+3i)(7-3i)}=\frac{35-15i-14i-6}{49+9}=\frac{29-29i}{58}=\frac12-\frac12 i $$

2. $$ \frac{2+5i}{2-5i}+\frac{2-5i}{2+5i}=\frac{(2+5i)^2+(2-5i)^2}{(2-5i)(2+5i)} $$

   $$ =\frac{(4+20i-25)+(4-20i-25)}{4+25}=\frac{-42}{29}=-1\frac{13}{29} $$

   $$ \left(\frac{1+i^{11}}{2-i^7}\right)^2=\left(\frac{1-i}{2+i}\right)^2=\left(\frac{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\right)^2=\left(\frac{1-3i}{5}\right)^2 $$

   $$ =\frac{1-6i+9i^2}{25}=\frac{-8-6i}{25}=-\frac{8}{25}-\frac{6}{25}i $$

3. $$ -1+i\sqrt3 $$

   $$ r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2,\qquad \cos\varphi=-\frac12,\qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2} $$

   $$ -1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) $$

   $$ \sin\frac{\pi}{5}-i\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right) $$

   $$ =\cos\frac{3\pi}{10}+i\sin\left(-\frac{3\pi}{10}\right) $$

4. $$ z^2+5=0 \Rightarrow z^2=-5 \Rightarrow z=\pm i\sqrt5 $$

   $$ z^2-10z+34=0 $$

   $$ D=10^2-4\cdot 34=100-136=-36 $$

   $$ z=\frac{10\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{10\pm 6i}{2}=5\pm 3i $$

5. $$ |z|=3 \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=3 \Rightarrow x^2+y^2=9 $$

   Это окружность с центром в точке $$ (0,0) $$ и радиусом $$ 3 $$.

6. $$ z=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$

   $$ z=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac12+\frac12 i $$

7. $$ (\cos18^\circ+i\sin18^\circ)(\cos42^\circ+i\sin42^\circ) $$

   $$ =\cos60^\circ+i\sin60^\circ=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i $$

   $$ \frac{9(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}{18(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})}=\frac12\left(\cos\left(\frac{7\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{3}-\frac{4\pi}{3}\right)\right) $$

   $$ =\frac12(\cos\pi+i\sin\pi)=-\frac12 $$

   $$ \left(\sqrt5\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)^4=(\sqrt5)^4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=25i $$

8. $$ z^4=16=16(\cos2\pi+i\sin2\pi) $$

   $$ z=2\left(\cos\frac{2\pi+2\pi k}{4}+i\sin\frac{2\pi+2\pi k}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3 $$

   Получаем:
   $$ z_1=2i,\quad z_2=-2,\quad z_3=-2i,\quad z_4=2 $$

   $$ z^3=64=64(\cos2\pi+i\sin2\pi) $$

   $$ z=4\left(\cos\frac{2\pi+2\pi k}{3}+i\sin\frac{2\pi+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2 $$

   Получаем:
   $$ z_1=-2+2\sqrt3\,i,\quad z_2=-2-2\sqrt3\,i,\quad z_3=4 $$

Ответ

1) $$ 8-i,\; 4-4i,\; 71+3i,\; \frac12-\frac12 i $$;
2) $$ -\frac{42}{29},\; -\frac{8}{25}-\frac{6}{25}i $$;
3) $$ -1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right),\; \sin\frac{\pi}{5}-i\cos\frac{\pi}{5}=\cos\frac{3\pi}{10}-i\sin\frac{3\pi}{10} $$;
4) $$ z=\pm i\sqrt5;\; z=5\pm 3i $$;
5) $$ x^2+y^2=9 $$;
6) $$ \frac12+\frac12 i $$;
7) $$ \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\; -\frac12,\; 25i $$;
8) $$ z=\pm 2,\; \pm 2i;\; z=4,\; -2\pm 2\sqrt3\,i $$