Проверь себя Глава 5 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) Р7;
2) А8 3;
3) С8 3;
4) P6/A7 5.
2. Упростить:
1) (n+1)!/(n-1)!;
2) (n-4)!/(n-2)!.
3. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из девяти различных предметов?
4. В одном классе изучается 10 разных учебных предметов. В пятницу завуч должен поставить в расписание этого класса 4 различных предмета. Сколькими способами он может это сделать?
5. Сколькими разными способами можно разместить 6 групп школьников в шести классных комнатах (по одной группе в комнате)?
6. Сколько существует трёхзначных цифровых кодов, в которых нет одинаковых цифр?
7. Записать разложение бинома: 1) (х + у)6; 2) (1 -а)5.
1. Решить относительно n уравнение:
1) Рn + 4 = 20P + 2;
2) An + 1 3 = Сn + 2+ 2.
2. Решить неравенство (n — 3)Рn + 2 < Рn + 1.
3. Шифр некоторого сейфа образуется из двух чисел. Первое, трёхзначное число, составляется из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (каждая цифра встречается не более одного раза); второе, пятизначное число, записывается с помощью цифр 6, 7, 8. Сколько различных шифров можно использовать в этом сейфе?
4. Сколькими способами можно разложить 6 монет по двум карманам?
5. Используя свойство числа сочетаний, найти:
1) C10 7 - C9 6;
2) C9 5 -C9 6 + C9 7 + C9 8 + C9 9.
6. Найти член разложения бинома (корень x - 1/корень 3 степени x)20, содержащий x5.
Найдём значения:
$$P_7=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=5040;$$
$$A_8^3=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336;$$
$$C_8^3=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2}=56;$$
$$\frac{P_6}{A_7^5}=\frac{6!}{\frac{7!}{2!}}=\frac{6!\cdot 2!}{7!}=\frac{2}{7}.$$Упростим выражения:
$$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n^2+n;$$
$$\frac{(n-4)!}{(n-2)!}=\frac{(n-4)!}{(n-2)(n-3)(n-4)!}=\frac{1}{(n-2)(n-3)}=\frac{1}{n^2-5n+6}.$$Число способов выбрать 3 предмета из 9:
$$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\,6!}=84.$$
Число способов составить расписание из 4 различных предметов из 10:
$$N=A_{10}^4=\frac{10!}{6!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040.$$
Число способов разместить 6 групп в 6 классах:
$$N=P_6=6!=720.$$
Число трёхзначных кодов без повторения цифр:
$$N=A_{10}^3=\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720.$$
Разложим биномиальные выражения:
$$(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6;$$
$$(1-a)^5=1-5a+10a^2-10a^3+5a^4-a^5.$$Решим уравнение:
$$P_{n+4}=20P_{n+2}$$
$$ (n+4)! = 20(n+2)! $$
$$ (n+4)(n+3)(n+2)! = 20(n+2)! $$
$$ (n+4)(n+3)=20 $$
$$ n^2+7n+12=20 $$
$$ n^2+7n-8=0 $$
$$ (n+8)(n-1)=0 $$
$$ n=-8 \text{ или } n=1. $$Так как $n$ — натуральное число, получаем $$n=1.$$
Решим уравнение:
$$A_{n+1}^3=C_{n+2}^2$$
$$\frac{(n+1)!}{(n-2)!}=\frac{(n+2)!}{2!\,n!}$$
$$ (n-1)n(n+1)=\frac{(n+2)(n+1)}{2} $$
$$ 2n(n-1)=n+2 $$
$$ 2n^2-3n-2=0 $$
$$ (2n+1)(n-2)=0 $$
$$ n=-\frac12 \text{ или } n=2. $$Так как $n$ — натуральное число, получаем $$n=2.$$
Решим неравенство:
$$(n-3)P_{n+2}
Корни уравнения $$n^2-n-7=0$$ равны
$$n=\frac{1\pm \sqrt{29}}{2}.$$
Поэтому
$$\frac{1-\sqrt{29}}{2}С учётом того, что $n$ — натуральное число, получаем $$n=1,2,3.$$
Число различных шифров:
$$N=A_5^3\cdot 3^5=5\cdot 4\cdot 3\cdot 3^5=14580.$$
Число способов разложить 6 монет по двум карманам:
$$N=2^6=64.$$
Используем свойства сочетаний:
$$C_{10}^7-C_9^6=C_9^7=36;$$
$$C_9^5+C_9^6+C_9^7+C_9^8+C_9^9=2^9-\left(C_9^0+C_9^1+C_9^2+C_9^3+C_9^4\right)=256.$$Найдём член разложения, содержащий $$x^5$$:
$$(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{20}.$$
Общий член:
$$T_{n+1}=C_{20}^n(\sqrt{x})^{20-n}\left(-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^n.$$
Показатель степени при $$x$$ равен:
$$\frac{20-n}{2}-\frac{n}{3}=5.$$
$$10-\frac{5}{6}n=5,$$
$$n=6.$$Тогда искомый член:
$$T_7=C_{20}^6x^5=\frac{20!}{6!\,14!}x^5=38760x^5.$$
Ответ
1) $$5040,\ 336,\ 56,\ \frac{2}{7}$$
2) $$n^2+n,\ \frac{1}{n^2-5n+6}$$
3) $$84$$
4) $$5040$$
5) $$720$$
6) $$720$$
7) $$(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6,$$ $$ (1-a)^5=1-5a+10a^2-10a^3+5a^4-a^5$$
8) $$1$$
9) $$2$$
10) $$1,2,3$$
11) $$14580$$
12) $$64$$
13) $$36,\ 256$$
14) $$38760x^5$$
