Проверь себя Глава 4 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2. Для функции f(x) = 3х2 + 2х — 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М( 1; -2).
3. Вычислить:
1) интеграл (1;2) 2x2dx;
2) интеграл (2;3) dx/x3;
3) интеграл (0;пи/2) cos2xdx;
4) интеграл (пи/2;пи) sinxdx.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 + + х — 6 и осью Ох.
1. Для функции f(x) = еx — 3sin х найти первообразную, график которой проходит через точку А(0; 2).
2. Вычислить:
1) интеграл (1;4) корень x dx;
2) интеграл (0;1) 2/3x+1 dx.
3. Изобразить фигуру, площадь которой равна интеграл (1;2) (2х-x2)dx, и вычислить эту площадь.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 + 4х — х2 и у = х2 — 2х + 2.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 + 1 и касательными к ней, проведёнными из точки (0; -3).
Найдём производную функции $$F(x)=e^{2x}+x^3-\cos x$$:
$$F'(x)=2e^{2x}+3x^2+\sin x.$$
Так как $$F'(x)=f(x),$$ то $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$ на всей числовой прямой.
Для $$f(x)=3x^2+2x-3$$ ищем первообразную:
$$F(x)=\int (3x^2+2x-3)\,dx=x^3+x^2-3x+C.$$
Используем точку $$M(1;-2):$$
$$-2=1+1-3+C,$$
$$C=-1.$$
Следовательно,
$$F(x)=x^3+x^2-3x-1.$$
Вычислим интегралы:
1) $$\int\limits_{1}^{2} 2x^2\,dx=\left.\frac{2x^3}{3}\right|_{1}^{2}=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}.$$
2) $$\int\limits_{2}^{3}\frac{dx}{x^3}=\int\limits_{2}^{3}x^{-3}\,dx=\left.-\frac{1}{2x^2}\right|_{2}^{3}=-\frac{1}{18}+\frac{1}{8}=\frac{5}{72}.$$
3) $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos 2x\,dx=\left.\frac{1}{2}\sin 2x\right|_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}\sin\pi-\frac{1}{2}\sin 0=0.$$
4) $$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_{\pi/2}^{\pi}=-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{2}=1.$$
Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2+x-6$$ и осью $$Ox$$.
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^2+x-6=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=2.$$
На отрезке $$[-3;2]$$ парабола расположена ниже оси $$Ox$$, поэтому
$$S=\int\limits_{-3}^{2}-(x^2+x-6)\,dx=\int\limits_{-3}^{2}(-x^2-x+6)\,dx.$$
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+6x\right)\Bigg|_{-3}^{2}=\frac{125}{6}.$$
Для $$f(x)=e^x-3\sin x$$ ищем первообразную, проходящую через точку $$A(0;2):$$
$$F(x)=\int (e^x-3\sin x)\,dx=e^x+3\cos x+C.$$
Подставим точку $$A(0;2):$$
$$2=e^0+3\cos 0+C=1+3+C,$$
$$C=-2.$$
Значит,
$$F(x)=e^x+3\cos x-2.$$
Вычислим интегралы:
1) $$\int\limits_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\int\limits_{1}^{4}x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.$$
2) $$\int\limits_{0}^{1}\frac{2}{3x+1}\,dx=\left.\frac{2}{3}\ln|3x+1|\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}\ln 4=\frac{4}{3}\ln 2.$$
Площадь фигуры, заданной интегралом
$$S=\int\limits_{1}^{2}(2x-x^2)\,dx,$$
равна
$$S=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2}=\left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.$$
Найдём площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=2+4x-x^2$$ и $$y=x^2-2x+2.$$
Точки пересечения:
$$2+4x-x^2=x^2-2x+2,$$
$$2x^2-6x=0,$$
$$2x(x-3)=0,$$
$$x=0,\quad x=3.$$
На отрезке $$[0;3]$$ верхняя кривая — $$y=2+4x-x^2$$, нижняя — $$y=x^2-2x+2$$. Тогда
$$S=\int\limits_{0}^{3}\bigl((2+4x-x^2)-(x^2-2x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{0}^{3}(6x-2x^2)\,dx.$$
$$S=\left(3x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=27-18=9.$$
Парабола $$y=x^2+1$$ и касательные, проведённые из точки $$ (0;-3),$$.
Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда
$$y’=2x,\quad k=2a.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^2+1+2a(x-a)=2ax-a^2+1.$$
Так как она проходит через точку $$ (0;-3),$$ получаем
$$-3=1-a^2,$$
$$a^2=4,\quad a=\pm 2.$$
Касательные:
$$y=4x-3,\qquad y=-4x-3.$$
Искомая площадь:
$$S=\int\limits_{-2}^{0}\bigl((x^2+1)-(-4x-3)\bigr)\,dx+\int\limits_{0}^{2}\bigl((x^2+1)-(4x-3)\bigr)\,dx.$$
$$S=\int\limits_{-2}^{0}(x^2+4x+4)\,dx+\int\limits_{0}^{2}(x^2-4x+4)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2+4x\right)\Bigg|_{-2}^{0}+\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right)\Bigg|_{0}^{2}=\frac{16}{3}.$$
Ответ
1) $$F'(x)=f(x)$$; 2) $$F(x)=x^3+x^2-3x-1$$; 3) $$\frac{14}{3},\ \frac{5}{72},\ 0,\ 1$$; 4) $$\frac{125}{6}$$; 5) $$F(x)=e^x+3\cos x-2$$; 6) $$\frac{14}{3},\ \frac{4}{3}\ln 2$$; 7) $$\frac{2}{3}$$; 8) $$9$$; 9) $$\frac{16}{3}$$.
