Проверь себя Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 2х3 — 5х;
2) у = — корень х + 4.
2. Найти точки экстремума функции у = х4- 4х3 + 20 и значения функции в этих точках.
3. Построить график функции у = х3 + 3х2 — 4.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x + 9/x на отрезке [1; 4].
5. Отливка объёмом 72 дм8 имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания 1:2. При каких размерах отливки площадь её полной поверхности будет наименьшей?
1. При каких значениях а функция у = х3 + 3ах возрастает на всей числовой прямой?
2. Построить график функции y=x+4/x.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x2/ex на отрезке [-1; 3].
4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса R.

Подробный ответ

Найдём промежутки монотонности.
1) $$y=2x^2-5x$$
$$y'(x)=4x-5$$
$$4x-5=0 \Rightarrow x=\frac54$$
При $$x<\frac54$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>\frac54$$ имеем $$y'(x)>0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;\frac54]$$ и возрастает на $$[\frac54;+\infty)$$.
2) $$y=-\sqrt{x+4}$$
Область определения: $$x+4\ge 0$$, то есть $$x\ge -4$$.
$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x+4}}<0$$ при $$x>-4$$.
Следовательно, функция убывает на $$[-4;+\infty)$$.
Найдём точки экстремума функции $$y=x^4-4x^3+20$$.
$$y'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=3$$
Знак производной меняется только при $$x=3$$: слева $$y'(x)<0$$, справа $$y'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=3$$ — минимум.
$$y(3)=3^4-4\cdot 3^3+20=81-108+20=-7$$
Точка минимума: $$\left(3;-7\right)$$.
Построим график функции $$y=x^3+3x^2-4$$.
$$y'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=0$$
Исследуем знак производной:
$$ \begin{cases} y'(x)>0, & x<-2,\\ y'(x)<0, & -2<x<0,\\ y'(x)>0, & x>0. \end{cases} $$
Значит, в точке $$x=-2$$ — максимум, в точке $$x=0$$ — минимум.
$$y(-2)=-8+12-4=0$$
$$y(0)=-4$$
Для построения отметим также нули функции:
$$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$$
Следовательно, график проходит через точки $$(-2;0)$$, $$\left(0;-4\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$.
Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=x+\frac{9}{x}$$ на отрезке $$[1;4]$$.
$$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=3$$
Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(1)=1+9=10$$
$$f(3)=3+3=6$$
$$f(4)=4+\frac94=\frac{25}{4}$$
Наибольшее значение равно $$10$$, наименьшее — $$6$$.
Пусть размеры отливки: $$a$$ и $$2a$$ — стороны основания, $$c$$ — высота. Тогда
$$2a^2c=72$$
$$c=\frac{36}{a^2}$$
Площадь полной поверхности:
$$S=2ab+2ac+2bc$$
Так как $$b=2a$$, получаем
$$S(a)=2\cdot a\cdot 2a+2\cdot a\cdot c+2\cdot 2a\cdot c=4a^2+6ac$$
$$S(a)=4a^2+\frac{216}{a}$$
$$S'(a)=8a-\frac{216}{a^2}$$
$$S'(a)=0 \Rightarrow 8a^3=216 \Rightarrow a^3=27 \Rightarrow a=3$$
Тогда
$$b=2a=6,\qquad c=\frac{36}{3^2}=4$$
Наименьшая площадь поверхности будет при размерах $$3\text{ дм},\ 6\text{ дм},\ 4\text{ дм}$$.