Упр.998 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) точки A и В пересечения графика этой функции с осями координат;
2) длину отрезка АВ;
3) расстояние от начала координат до прямой у = -3/4*х + 2.

Подробный ответ

Дана прямая $$y=-\frac{3}{4}x+2.$$

1) Точки пересечения с осями координат.

С осью $$Oy$$ график пересекается при $$x=0$$:

$$y=-\frac{3}{4}\cdot 0+2=2,$$

значит, $$B(0;2).$$

С осью $$Ox$$ график пересекается при $$y=0$$:

$$-\frac{3}{4}x+2=0,$$

$$-\frac{3}{4}x=-2,$$

$$x=\frac{8}{3}.$$

Значит, $$A\left(\frac{8}{3};0\right).$$

2) Длина отрезка $$AB$$.

$$AB=\sqrt{\left(\frac{8}{3}-0\right)^2+(0-2)^2}$$

$$=\sqrt{\frac{64}{9}+4}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}.$$

3) Расстояние от начала координат до прямой.

Найдём основание перпендикуляра из начала координат на прямую. Для прямой $$y=-\frac{3}{4}x+2$$ перпендикуляр имеет угловой коэффициент $$\frac{4}{3}$$, поэтому его уравнение:

$$y=\frac{4}{3}x.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} y=-\frac{3}{4}x+2,\\ y=\frac{4}{3}x. \end{cases} $$

$$\frac{4}{3}x=-\frac{3}{4}x+2,$$

$$\frac{16}{12}x+\frac{9}{12}x=2,$$

$$\frac{25}{12}x=2,$$

$$x=\frac{24}{25}, \qquad y=\frac{4}{3}\cdot \frac{24}{25}=\frac{32}{25}.$$

Тогда расстояние от начала координат до прямой равно

$$ OC=\sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2+\left(\frac{32}{25}\right)^2} =\sqrt{\frac{576+1024}{625}} =\sqrt{\frac{1600}{625}} =\frac{8}{5}. $$