Упр.982 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Пусть $$a_n$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$d$$. Тогда

$$a_5=a_1+4d,\qquad a_6=a_1+5d,\qquad a_2=a_1+d.$$

По условию:

$$a_5\cdot a_6=33(a_1\cdot a_2).$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$(a_1+4d)(a_1+5d)=33a_1(a_1+d)$$

$$a_1^2+9a_1d+20d^2=33a_1^2+33a_1d$$

$$32a_1^2+24a_1d-20d^2=0$$

$$8a_1^2+6a_1d-5d^2=0$$

Решим это квадратное уравнение относительно $$a_1$$:

$$D=(6d)^2+4\cdot 8\cdot 5d^2=36d^2+160d^2=196d^2$$

$$a_1=\frac{-6d\pm 14d}{16}$$

Получаем два корня:

$$a_1=-\frac{5d}{4}\quad \text{или}\quad a_1=\frac{d}{2}.$$

Так как все члены прогрессии положительны, то $$d>0$$ и подходит только $$a_1=\frac{d}{2}$$.

Тогда

$$a_2=a_1+d=\frac{d}{2}+d=\frac{3d}{2}, \qquad a_5=a_1+4d=\frac{d}{2}+4d=\frac{9d}{2}.$$

Найдём, во сколько раз пятый член больше второго:

$$\frac{a_5}{a_2}=\frac{\frac{9d}{2}}{\frac{3d}{2}}=3.$$

Ответ

В 3 раза.