Упр.981 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия, $$a_n$$ — арифметическая прогрессия.

По условию:

$$a_1=b_5=b_1q^4,$$
$$a_2=b_8=b_1q^7,$$
$$a_{10}=b_{11}=b_1q^{10}.$$

Тогда разность арифметической прогрессии равна

$$d=a_2-a_1=b_1q^7-b_1q^4=b_1q^4(q^3-1).$$

С другой стороны,

$$a_{10}=a_1+9d,$$
$$b_1q^{10}=b_1q^4+9b_1q^4(q^3-1).$$

После преобразования получаем

$$b_1q^{10}=b_1q^4(1+9q^3-9),$$
$$q^6=9q^3-8,$$
$$q^6-9q^3+8=0.$$

Обозначим $$t=q^3$$. Тогда

$$t^2-9t+8=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=8.$$

Следовательно,

$$q^3=1 \quad \text{или} \quad q^3=8,$$
$$q=1 \quad \text{или} \quad q=2.$$

Теперь используем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=62 \quad (q\ne 1).$$

1) Если $$q=2$$, то

$$62=\frac{b_1(2^5-1)}{2-1}=31b_1,$$
$$b_1=2.$$

2) Если $$q=1$$, то все пять первых членов равны $$b_1$$, значит

$$S_5=5b_1=62,$$
$$b_1=\frac{62}{5}=12{,}4.$$

Оба значения удовлетворяют условию.

Ответ

$$2;\ 12{,}4$$