Упр.978 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на $$9$$, а второе больше четвёртого на $$18$$.

Пусть четыре последовательных члена геометрической прогрессии — это $$b_1,\; b_2,\; b_3,\; b_4,$$ а знаменатель прогрессии равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_3-b_1=9,$$

$$b_2-b_4=18.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q^2-b_1=9,$$

$$b_1q-b_1q^3=18.$$

Вынесем $$b_1$$ за скобки:

$$b_1(q^2-1)=9,$$

$$b_1(q-q^3)=18.$$

Из первого уравнения

$$b_1=\frac{9}{q^2-1}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{9}{q^2-1}(q-q^3)=18.$$

Упростим:

$$9(q-q^3)=18(q^2-1),$$

$$q-q^3=2q^2-2,$$

$$q^3+2q^2-q-2=0,$$

$$q^2(q+2)-(q+2)=0,$$

$$(q+2)(q^2-1)=0.$$

Отсюда $$q=-2,\; q=1,\; q=-1.$$

Значения $$q=1$$ и $$q=-1$$ не подходят, так как тогда $$q^2-1=0$$ и формула для $$b_1$$ не имеет смысла. Значит,

$$q=-2.$$

Тогда

$$b_1=\frac{9}{(-2)^2-1}=\frac{9}{4-1}=3.$$

Найдём остальные члены:

$$b_2=b_1q=3\cdot(-2)=-6,$$

$$b_3=b_2q=-6\cdot(-2)=12,$$

$$b_4=b_3q=12\cdot(-2)=-24.$$

Ответ

$$3;\,-6;\,12;\,-24.$$