Упр.974 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Катер отправился от речного причала вниз по реке и, пройдя $$36\ \text{км}$$, догнал плот, отправленный от того же причала за $$10\ \text{ч}$$ до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя $$30\ \text{км}$$ и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии $$10\ \text{км}$$ от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Обозначим:

$$x$$ км/ч — собственная скорость катера, $$y$$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость катера по течению равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.

Из второго условия получаем уравнение:

$$\frac{30}{x+y}+\frac{20}{x-y}=\frac{10}{y}.$$

Умножим обе части на $$y(x^2-y^2)$$:

$$30y(x-y)+20y(x+y)=10(x^2-y^2)$$
$$30xy-30y^2+20xy+20y^2=10x^2-10y^2$$
$$50xy-10y^2=10x^2-10y^2$$
$$50xy=10x^2$$
$$x^2=5xy.$$

Так как $$x>0$$, то

$$x=5y.$$

Из первого условия:

$$\frac{36}{x+y}+10=\frac{36}{y}.$$

Подставим $$x=5y$$:

$$\frac{36}{5y+y}+10=\frac{36}{y}$$
$$\frac{36}{6y}+10=\frac{36}{y}$$
$$\frac{6}{y}+10=\frac{36}{y}$$
$$10=\frac{30}{y}$$
$$10y=30$$
$$y=3.$$

Тогда

$$x=5\cdot 3=15.$$

Ответ

$$15\text{ км/ч}$$