Упр.972 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найти эти дроби.

Пусть данные дроби равны $$\frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}.$$ Тогда по условию:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1,$$
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c},$$
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=5\cdot \frac{1}{c}.$$

Из третьего уравнения и первого получаем:

$$1-\frac{1}{c}=5\cdot \frac{1}{c},$$
$$1=\frac{6}{c},$$
$$c=6.$$

Тогда

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{6},$$
$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{6}.$$

Сложим эти уравнения:

$$2\cdot \frac{1}{a}=1,$$
$$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}, \quad a=2.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$2\cdot \frac{1}{b}=\frac{4}{6},$$
$$\frac{1}{b}=\frac{1}{3}, \quad b=3.$$

Следовательно, искомые дроби:

$$\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{6}$$