Упр.970 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Разность двух чисел относится к их произведению как $$1:24$$, а сумма этих чисел в $$5$$ раз больше их разности. Найти эти числа.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые числа. Тогда по условию

$$\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{24},$$

откуда

$$24(x-y)=xy.$$

Также сумма этих чисел в 5 раз больше их разности:

$$x+y=5(x-y).$$

Преобразуем это уравнение:

$$x+y=5x-5y,$$

$$4x=6y,$$

$$x=\frac{3}{2}y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$24\left(\frac{3}{2}y-y\right)=\frac{3}{2}y\cdot y,$$

$$24\cdot \frac{1}{2}y=\frac{3}{2}y^2,$$

$$12y=\frac{3}{2}y^2,$$

$$24y=3y^2,$$

$$3y^2-24y=0,$$

$$3y(y-8)=0.$$

Так как $$xy\neq 0$$, то $$y\neq 0$$, значит

$$y=8.$$

Тогда

$$x=\frac{3}{2}\cdot 8=12.$$

Проверка: $$12-8=4,$$ $$12\cdot 8=96,$$ и $$\frac{4}{96}=\frac{1}{24}.$$

Ответ

$$8$$ и $$12$$.