Упр.964 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases} x+3y-3\ge 0,\\ 2x+3y-12\le 0,\\ x\ge 0,\\ 0\le y\le 2. \end{cases}$$

   Преобразуем неравенства:
   $$y\ge 1-\frac13x,\qquad y\le 4-\frac23x.$$
   С учётом $$x\ge 0$$ и $$0\le y\le 2$$ получаем четырёхугольник с вершинами
   $$\left(0,1\right),\ \left(0,2\right),\ \left(3,2\right),\ \left(6,0\right).$$

   Площадь фигуры:
   $$S=3\cdot 1+\frac12\cdot 3\cdot 1+\frac12\cdot 3\cdot 2=3+1{,}5+3=7{,}5.$$

2. $$\begin{cases} x-y+1\le 0,\\ 5x-3y+15\ge 0,\\ x\le 0,\\ 0\le y\le 2{,}5. \end{cases}$$

   Тогда
   $$y\ge x+1,\qquad y\le \frac53x+5.$$
   Искомая фигура — четырёхугольник с вершинами
   $$\left(-3,0\right),\ \left(-1,0\right),\ \left(0,1\right),\ \left(0,2{,}5\right).$$

   Площадь:
   $$S=3\cdot 2{,}5-\frac12\cdot 1{,}5\cdot 2{,}5-\frac12\cdot 1\cdot 1=7{,}5-1{,}875-0{,}5=5{,}125.$$

3. $$\begin{cases} (x+y-1)(x+y-3)\le 0,\\ x-y\le 0,\\ x\ge 0. \end{cases}$$

   Из первого неравенства:
   $$1\le x+y\le 3.$$
   Значит,
   $$1-x\le y\le 3-x.$$
   Вместе с $$y\ge x$$ и $$x\ge 0$$ получаем четырёхугольник с вершинами
   $$\left(0,1\right),\ \left(0,3\right),\ \left(1,2\right),\ \left(\frac12,\frac12\right).$$

   Площадь фигуры:
   $$S=1\cdot 1+\frac12\cdot 1\cdot 1+\frac14\cdot 1\cdot 1+\frac14\cdot 1\cdot 1=2.$$

4. $$\begin{cases} (2x-y+3)(4x+3y-9)\le 0,\\ x+y\ge 0,\\ -1\le y\le 3. \end{cases}$$

   Первый множитель даёт
   $$y\le 2x+3,$$
   второй —
   $$y\le 3-\frac43x.$$
   С учётом $$y\ge -x$$ и $$-1\le y\le 3$$ получаем многоугольник с вершинами
   $$\left(-1,1\right),\ \left(0,3\right),\ \left(2,0\right),\ \left(1,-1\right),\ \left(0,-1\right).$$

   Площадь:
   $$S=4\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 1-\frac12\cdot 3\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 2=16-1-6-2=7.$$

Ответ

1) $$7{,}5$$; 2) $$5{,}125$$; 3) $$2$$; 4) $$7$$.