Упр.964 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) система
x+3y-3 > =0,
2x+3y-12 < =0,
x > -0,
0 < =y < =2;
2) система
x-y+1 < =0,
5x-3y+15 > =0,
x < =0,
0 < =y < =2,5;
3) система
(x+y-1)(x+y-3) < =0,
x-y < =0,
x > =0;
4) система
(2x-y+3)(4x+3y-9) < =0,
x+y > =0,
-1 < =y < =3.
$$\begin{cases} x+3y-3\ge 0,\\ 2x+3y-12\le 0,\\ x\ge 0,\\ 0\le y\le 2. \end{cases}$$
Преобразуем неравенства:
$$y\ge 1-\frac13x,\qquad y\le 4-\frac23x.$$
С учётом $$x\ge 0$$ и $$0\le y\le 2$$ получаем четырёхугольник с вершинами
$$\left(0,1\right),\ \left(0,2\right),\ \left(3,2\right),\ \left(6,0\right).$$Площадь фигуры:
$$S=3\cdot 1+\frac12\cdot 3\cdot 1+\frac12\cdot 3\cdot 2=3+1{,}5+3=7{,}5.$$$$\begin{cases} x-y+1\le 0,\\ 5x-3y+15\ge 0,\\ x\le 0,\\ 0\le y\le 2{,}5. \end{cases}$$
Тогда
$$y\ge x+1,\qquad y\le \frac53x+5.$$
Искомая фигура — четырёхугольник с вершинами
$$\left(-3,0\right),\ \left(-1,0\right),\ \left(0,1\right),\ \left(0,2{,}5\right).$$Площадь:
$$S=3\cdot 2{,}5-\frac12\cdot 1{,}5\cdot 2{,}5-\frac12\cdot 1\cdot 1=7{,}5-1{,}875-0{,}5=5{,}125.$$$$\begin{cases} (x+y-1)(x+y-3)\le 0,\\ x-y\le 0,\\ x\ge 0. \end{cases}$$
Из первого неравенства:
$$1\le x+y\le 3.$$
Значит,
$$1-x\le y\le 3-x.$$
Вместе с $$y\ge x$$ и $$x\ge 0$$ получаем четырёхугольник с вершинами
$$\left(0,1\right),\ \left(0,3\right),\ \left(1,2\right),\ \left(\frac12,\frac12\right).$$Площадь фигуры:
$$S=1\cdot 1+\frac12\cdot 1\cdot 1+\frac14\cdot 1\cdot 1+\frac14\cdot 1\cdot 1=2.$$$$\begin{cases} (2x-y+3)(4x+3y-9)\le 0,\\ x+y\ge 0,\\ -1\le y\le 3. \end{cases}$$
Первый множитель даёт
$$y\le 2x+3,$$
второй —
$$y\le 3-\frac43x.$$
С учётом $$y\ge -x$$ и $$-1\le y\le 3$$ получаем многоугольник с вершинами
$$\left(-1,1\right),\ \left(0,3\right),\ \left(2,0\right),\ \left(1,-1\right),\ \left(0,-1\right).$$Площадь:
$$S=4\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 1-\frac12\cdot 3\cdot 4-\frac12\cdot 2\cdot 2=16-1-6-2=7.$$
Ответ
1) $$7{,}5$$; 2) $$5{,}125$$; 3) $$2$$; 4) $$7$$.
