Упр.963 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Система: $$3\log_3 x-2\log_4 y=77,$$ $$3\log_3\sqrt{x}+2\log_{16}y=11.$$

Преобразуем уравнения системы:

$$3^{\log_3 x}-2^{\log_4 y}=77,$$
$$3^{\log_3 \sqrt{x}}+2^{\log_{16} y}=11.$$

Используем свойства степеней и логарифмов:

$$3^{\log_3 x}=x,$$
$$2^{\log_4 y}=2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 4}}=2^{\frac{\log_2 y}{2}}=\sqrt{y},$$
$$3^{\log_3 \sqrt{x}}=\sqrt{x},$$
$$2^{\log_{16} y}=2^{\frac{\log_2 y}{\log_2 16}}=2^{\frac{\log_2 y}{4}}=\sqrt[4]{y}.$$

Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} x-\sqrt{y}=77,\\ \sqrt{x}+\sqrt[4]{y}=11. \end{cases}$$

Обозначим $$t=\sqrt[4]{y}$$, тогда $$\sqrt{y}=t^2$$ и $$y=t^4$$. Получаем:

$$\begin{cases} x-t^2=77,\\ \sqrt{x}+t=11. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\sqrt{x}=11-t,$$
$$x=(11-t)^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(11-t)^2-t^2=77$$
$$121-22t+t^2-t^2=77$$
$$121-22t=77$$
$$22t=44$$
$$t=2.$$

Тогда

$$y=t^4=2^4=16,$$
$$x=(11-2)^2=9^2=81.$$

Проверка:

$$81-\sqrt{16}=81-4=77,$$
$$\sqrt{81}+\sqrt[4]{16}=9+2=11.$$

Ответ

$$\left(81;\,16\right)$$