Упр.962 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

$$\begin{cases}6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1.\end{cases}$$

Обозначим:

$$u=\sin x\cos y,\qquad v=\cos x\sin y.$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} 6u+2v=-3,\\ 5u-3v=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$2v=-6u-3,\qquad v=\frac{-6u-3}{2}.$$

Из второго уравнения:

$$3v=5u-1,\qquad v=\frac{5u-1}{3}.$$

Приравняем:

$$\frac{-6u-3}{2}=\frac{5u-1}{3}.$$

Тогда

$$3(-6u-3)=2(5u-1)$$

$$-18u-9=10u-2$$

$$28u=-7,\qquad u=-\frac14.$$

Найдём $$v$$:

$$v=\frac{5u-1}{3}=\frac{5\cdot\left(-\frac14\right)-1}{3} =\frac{-\frac54-1}{3} =\frac{-\frac94}{3} =-\frac34.$$

Теперь имеем:

$$\sin x\cos y=-\frac14,\qquad \cos x\sin y=-\frac34.$$

Сложим и вычтем эти равенства:

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=-1,$$

откуда

$$\sin(x+y)=-1.$$

Значит,

$$x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$y=-x-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=\frac12,$$

следовательно,

$$\sin(x-y)=\frac12.$$

Тогда

$$x-y=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Решая систему

$$\begin{cases} x+y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\\ x-y=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, \end{cases}$$

получаем:

$$2x=-\frac{\pi}{2}+(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}+\pi n,$$

$$y=-\frac{\pi}{4}+(-1)^{k+1}\frac{\pi}{12}-\frac{\pi k}{2}+\pi n.$$

Ответ

$$\left( -\frac{\pi}{4}+(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}+\pi n;\; -\frac{\pi}{4}+(-1)^{k+1}\frac{\pi}{12}-\frac{\pi k}{2}+\pi n \right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$