Упр.961 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить системы уравнений (961—963).

1. 961.
   1) $$\begin{cases}xy=yx,\\x^3=y^2;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x\sqrt{y}=y,\\y\sqrt{y}=x^4;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}\sqrt{2}\sin x=\sin y,\\\sqrt{2}\cos x=\sqrt{3}\cos y;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{3},\\\cos 2\pi x-\sin 2\pi y=\frac{1}{2};\end{cases}$$
   4) $$\begin{cases}\cos x\sin y=\frac{1}{2},\\\sin 2x+\sin 2y=0.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^y=y^x,\\ x^3=y^2 \end{cases}$$
   Так как в степенных выражениях используются логарифмы, рассматриваем положительные значения $$x$$ и $$y$$.
   Из второго уравнения:
   $$3\ln x=2\ln y,\qquad \frac{\ln x}{\ln y}=\frac{2}{3}.$$
   Из первого уравнения:
   $$y\ln x=x\ln y,\qquad \frac{\ln x}{\ln y}=\frac{x}{y}.$$
   Тогда
   $$\frac{x}{y}=\frac{2}{3},\qquad y=\frac{3x}{2}.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^3=\left(\frac{3x}{2}\right)^2=\frac{9x^2}{4},$$
   $$4x^3-9x^2=0,$$
   $$x^2(4x-9)=0.$$
   С учётом области допустимых значений получаем $$x=1$$ или $$x=\frac94$$.
   Тогда
   $$y=\frac32\cdot 1=1,\qquad y=\frac32\cdot \frac94=\frac{27}{8}.$$

   $$\left(1;1\right),\ \left(\frac94;\frac{27}{8}\right).$$

2. $$\begin{cases} x^{\sqrt y}=y,\\ y^{\sqrt y}=x^4 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$\sqrt y\,\ln x=\ln y,\qquad \frac{\ln y}{\ln x}=\sqrt y.$$
   Из второго:
   $$\sqrt y\,\ln y=4\ln x,\qquad \frac{\ln y}{\ln x}=\frac{4}{\sqrt y}.$$
   Следовательно,
   $$\sqrt y=\frac{4}{\sqrt y},\qquad y=4.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^{\sqrt4}=4,\qquad x^2=4,\qquad x=2.$$
   Проверка даёт также решение $$x=1,\ y=1$$.

   $$\left(1;1\right),\ \left(2;4\right).$$

3. $$\begin{cases} \sqrt2\sin x=\sin y,\\ \sqrt2\cos x=\sqrt3\cos y \end{cases}$$
   Возведём уравнения в квадрат и сложим:
   $$2\sin^2 x=\sin^2 y,\qquad 2\cos^2 x=3\cos^2 y,$$
   $$2\sin^2 x+2\cos^2 x=\sin^2 y+3\cos^2 y.$$
   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем
   $$2=1+2\cos^2 y,\qquad \cos^2 y=\frac12.$$
   Значит,
   $$\cos 2y=0,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$
   Далее из системы получаем четыре случая:

   $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad \left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{4}+2\pi k\right),$$
   $$\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right),\quad \left(\frac{11\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{7\pi}{4}+2\pi k\right),\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

4. $$\begin{cases} x-y=-\frac13,\\ \cos^2\pi x-\sin^2\pi y=\frac12 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=x+\frac13.$$
   Во втором используем формулы
   $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2},\qquad \sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}.$$
   Тогда
   $$\frac{1+\cos 2\pi x}{2}-\frac{1-\cos 2\pi y}{2}=\frac12,$$
   $$\cos 2\pi x+\cos 2\pi y=1.$$
   Подставим $$y=x+\frac13$$:
   $$\cos 2\pi x+\cos\left(2\pi x+\frac{2\pi}{3}\right)=1.$$
   Используем формулу суммы косинусов:
   $$2\cos\left(2\pi x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\frac{\pi}{3}=1,$$
   $$\cos\left(2\pi x+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
   Отсюда
   $$2\pi x+\frac{\pi}{3}=2\pi n,\qquad x=n-\frac16.$$
   Тогда
   $$y=x+\frac13=n+\frac16,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   $$\left(n-\frac16;\ n+\frac16\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\begin{cases} \cos x\sin y=\frac12,\\ \sin 2x+\sin 2y=0 \end{cases}$$
   Второе уравнение преобразуем:
   $$2\sin(x+y)\cos(x-y)=0.$$
   Значит, либо $$\sin(x+y)=0$$, либо $$\cos(x-y)=0$$.

   1) Если $$\sin(x+y)=0$$, то $$x+y=\pi k$$, $$y=\pi k-x$$. Тогда
   $$\cos x\sin(\pi k-x)=\frac12,$$
   $$\cos x\cdot(-1)^k\sin x=\frac12.$$
   Получаем
   $$\frac12\sin 2x=\frac12,\qquad \sin 2x=1,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\pi k-\pi n.$$
   Это даёт семейство
   $$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\pi k-\pi n\right),\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

   2) Если $$\cos(x-y)=0$$, то $$x-y=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, значит $$x=y+\frac{\pi}{2}+\pi n$$. Подставим в первое уравнение:
   $$\cos\left(y+\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\sin y=\frac12.$$
   Так как $$\cos\left(y+\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^{n+1}\sin y$$, получаем
   $$\sin^2 y=\frac12.$$
   Отсюда
   $$y=\frac{\pi}{4}+\pi k \quad \text{или} \quad y=\frac{3\pi}{4}+\pi k.$$
   Соответствующие значения $$x$$:
   $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi k+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{4}+\pi k+\pi n.$$

   $$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\pi k-\pi n\right),\ \left(\frac{3\pi}{4}+\pi n+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ \left(\frac{5\pi}{4}+\pi n+\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+\pi k\right),\qquad n,k\in\mathbb Z.$$