Упр.960 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Для всех значений параметра $$a$$ решить систему уравнений:

$$\begin{cases} a^2-2\sqrt{3}|a|y+x^2+2xy-y^2-2=0,\\ x^2+y^2-2y-\cos(xy)+11-6a+a^2=0. \end{cases}$$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$$x^2+y^2-2y-\cos(xy)+11-6a+a^2=0.$$

Преобразуем его:

$$x^2+(y^2-2y+1)+(a^2-6a+9)+(1-\cos(xy))=0,$$

то есть

$$x^2+(y-1)^2+(a-3)^2+(1-\cos(xy))=0.$$

Каждое слагаемое здесь неотрицательно, так как

$$x^2\ge 0,\quad (y-1)^2\ge 0,\quad (a-3)^2\ge 0,\quad 1-\cos(xy)\ge 0.$$

Сумма равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

$$x=0,\quad y=1,\quad a=3,\quad \cos(xy)=1.$$

Проверим первое уравнение при этих значениях:

$$a^2-2\sqrt{3|a|}\,y+x^2+2xy-y^2-2=0.$$

Подставим $$a=3,\ x=0,\ y=1$$:

$$3^2-2\sqrt{3\cdot 3}\cdot 1+0^2+2\cdot 0\cdot 1-1^2-2=0,$$

$$9-2\sqrt{9}-1-2=0,$$

$$9-6-1-2=0,$$

$$0=0.$$

Значит, при $$a=3$$ система имеет решение $$\left(0;1\right)$$.

Если $$a\ne 3$$, то из второго уравнения система решений не имеет.

Ответ

При $$a=3$$: $$\left(0;1\right)$$. При $$a\ne 3$$ решений нет.