Упр.959 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения параметра $$a$$, при которых система $$\log_y x+\log_x y=\frac{5}{2},\quad x+y=a+a^2$$ имеет решение. Решить эту систему при найденных значениях $$a$$.
2. Найти все положительные значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} (|x|-5)^2+(y-4)^2=4,\\ (x-2)^2+y^2=a^2 \end{cases}$$ имеет единственное решение.

1. Пусть $$t=\log_y x.$$ Тогда $$\log_x y=\frac{1}{t}$$, и первое уравнение системы принимает вид

   $$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

   Умножим на $$2t$$:

   $$2t^2-5t+2=0.$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

   Значит, возможны два случая:

   $$\log_y x=\frac12 \Rightarrow x=\sqrt{y},$$

   $$\log_y x=2 \Rightarrow x=y^2.$$

   1) Если $$x=\sqrt{y}$$, то из второго уравнения

   $$\sqrt{y}+y=a+a^2.$$

   Обозначим $$u=\sqrt{y}\ge 0$$. Тогда $$y=u^2$$ и

   $$u^2+u-(a+a^2)=0.$$

   $$D=1+4(a+a^2)=(2a+1)^2,$$

   $$u_1=\frac{-1-(2a+1)}{2}=-a-1,\qquad u_2=\frac{-1+(2a+1)}{2}=a.$$

   Отсюда

   $$y_1=(a+1)^2,\quad x_1=-a-1;$$

   $$y_2=a^2,\quad x_2=a.$$

   С учётом области определения логарифмов получаем:

   $$a>0,\ a\ne 1.$$

   2) Если $$x=y^2$$, то

   $$y^2+y=a+a^2.$$

   Положим $$u=y\ge 0$$. Тогда

   $$u^2+u-(a+a^2)=0,$$

   и снова

   $$u_1=-a-1,\qquad u_2=a.$$

   Тогда

   $$y_1=(a+1)^2,\quad x_1=(a+1)^2;$$

   $$y_2=a^2,\quad x_2=a^2.$$

   Для существования решений нужно, чтобы корни были допустимы:

   $$a>0,\ a\ne 1.$$

   Итак, при $$a>0,\ a\ne 1$$ система имеет решения:

   $$(-a-1;\,(a+1)^2),\quad ((a+1)^2;\,-a-1),\quad (a;\,a^2),\quad (a^2;\,a).$$

   При $$a< -1,\ a\ne -2$$ получаем решения

   $$(-a-1;\,(a+1)^2),\quad ((a+1)^2;\,-a-1).$$

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} (|x|-5)^2+(y-4)^2=4,\\ (x-2)^2+y^2=a^2. \end{cases}$$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром $$C(5,4)$$ и радиусом $$2$$ при $$x\ge 0$$, а также окружность с центром $$C(-5,4)$$ и радиусом $$2$$ при $$x<0$$.

   Второе уравнение — окружность с центром $$A(2,0)$$ и радиусом $$a$$.

   Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность с центром $$A$$ касается одной из окружностей первого уравнения.

   Для центра $$C(5,4)$$:

   $$AC=\sqrt{(5-2)^2+4^2}=5.$$

   Условие касания даёт

   $$a=AC-2=3 \quad \text{или} \quad a=AC+2=7.$$

   Для центра $$C(-5,4)$$:

   $$AC=\sqrt{(-5-2)^2+4^2}=\sqrt{65}.$$

   Условие касания даёт

   $$a=\sqrt{65}-2 \quad \text{или} \quad a=\sqrt{65}+2.$$

   Но при $$a=\sqrt{65}-2$$ окружности пересекаются в двух точках, поэтому единственного решения нет. Остаются значения

   $$a=3,\qquad a=\sqrt{65}+2.$$

Ответ

1) $$a>0,\ a\ne 1$$; решения системы: $$(-a-1;\,(a+1)^2),\ ((a+1)^2;\,-a-1),\ (a;\,a^2),\ (a^2;\,a).$$ При $$a<-1,\ a\ne -2$$: $$(-a-1;\,(a+1)^2),\ ((a+1)^2;\,-a-1).$$

2) $$a=3,\ \sqrt{65}+2.$$