Упр.956 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\sin x\cos y=-\frac{1}{2},\\ \operatorname{tg}x\operatorname{ctg}y=1.\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\sin x\sin y=\frac{1}{4},\\ 3\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}y.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} \sin x \cos y=-\dfrac12,\\ \tg x \ctg y=1 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:
   $$\tg x \ctg y=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos y}{\sin y}=1,$$
   $$\sin x\cos y=\cos x\sin y.$$
   Тогда
   $$\sin x\cos y-\cos x\sin y=-\dfrac12+\dfrac12=0,$$
   $$\sin(x-y)=0,$$
   $$x-y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:
   $$\sin x\cos y=-\dfrac12.$$
   Используем формулу
   $$\sin x\cos y=\dfrac12\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr).$$
   Так как $$\sin(x-y)=0,$$ получаем
   $$\dfrac12\sin(x+y)=-\dfrac12,$$
   $$\sin(x+y)=-1.$$
   Значит,
   $$x+y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Решаем систему
   $$\begin{cases} x-y=\pi n,\\ x+y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k \end{cases}$$
   и получаем
   $$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi\left(k+\dfrac n2\right),\qquad y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi\left(k-\dfrac n2\right).$$

2. $$\begin{cases} \sin x\sin y=\dfrac14,\\ 3\tg x=\ctg y \end{cases}$$

   Из второго уравнения:
   $$3\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos y}{\sin y},$$
   $$3\sin x\sin y=\cos x\cos y.$$
   Тогда
   $$\cos x\cos y+\sin x\sin y=1,$$
   $$\cos(x-y)=1,$$
   $$x-y=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из первого уравнения:
   $$\sin x\sin y=\dfrac14.$$
   Используем формулу
   $$\cos(x-y)-\cos(x+y)=2\sin x\sin y.$$
   Так как $$\cos(x-y)=1,$$ имеем
   $$1-\cos(x+y)=\dfrac12,$$
   $$\cos(x+y)=\dfrac12.$$
   Значит,
   $$x+y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Решаем системы:
   $$\begin{cases} x-y=2\pi n,\\ x+y=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=2\pi n,\\ x+y=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k \end{cases}$$
   Получаем
   $$x=\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+k),\qquad y=\dfrac{\pi}{6}+\pi(k-n),$$
   или
   $$x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+k),\qquad y=-\dfrac{\pi}{6}+\pi(k-n).$$

Ответ

1) $$\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi\left(k+\dfrac n2\right);\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi\left(k-\dfrac n2\right)\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
2) $$\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+k);\;\dfrac{\pi}{6}+\pi(k-n)\right),\quad \left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+k);\;-\dfrac{\pi}{6}+\pi(k-n)\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$