Упр.955 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$\begin{cases}\sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+2\sin x\cos y=\frac{3}{4};\end{cases}$$
- $$\begin{cases}\sin x+\sin y=\frac{1}{2},\\ \cos^2 x+2\sin x\sin y+4\cos^2 y=4.\end{cases}$$
$$\begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+2\sin x\cos y=\dfrac34. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\cos y=1-\sin x.$$
Подставим во второе:
$$\sin^2 x+2\sin x(1-\sin x)=\dfrac34,$$
$$\sin^2 x+2\sin x-2\sin^2 x-\dfrac34=0,$$
$$4\sin^2 x-8\sin x+3=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=64-48=16,$$
$$\sin x_{1,2}=\dfrac{8\pm4}{8}.$$
Получаем:
$$\sin x=\dfrac12 \quad \text{или} \quad \sin x=\dfrac32.$$
Значение $$\sin x=\dfrac32$$ невозможно, значит
$$\sin x=\dfrac12.$$
Тогда
$$\cos y=1-\dfrac12=\dfrac12.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
$$\begin{cases} \sin x+\sin y=\dfrac12,\\ \cos^2 x+2\sin x\sin y+4\cos^2 y=4. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\sin y=\dfrac12-\sin x.$$
Подставим во второе, учитывая $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$:
$$1-\sin^2 x+2\sin x\left(\dfrac12-\sin x\right)+4\left(1-\left(\dfrac12-\sin x\right)^2\right)=4.$$
После упрощения получаем:
$$7\sin^2 x-5\sin x=0,$$
$$\sin x(7\sin x-5)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\dfrac57.$$
1) Если $$\sin x=0,$$ то
$$\sin y=\dfrac12,$$
значит
$$x=\pi n,\qquad y=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin x=\dfrac57,$$ то
$$\sin y=\dfrac12-\dfrac57=-\dfrac{3}{14},$$
значит
$$x=(-1)^n\arcsin\dfrac57+\pi n,\qquad y=(-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{3}{14}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$
2) $$\left((-1)^n\arcsin\dfrac57+\pi n;\ (-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{3}{14}+\pi k\right),\ \left(\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$
