Упр.955 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

sinx + cosy = 1,
sin2 x + 2sinxcosy = 3/4;
2) система
sinx + siny = 1/2,
cos2x + 2sinxsiny + 4cos2 у = 4.

1. $$ \begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+2\sin x\cos y=\dfrac34. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$\cos y=1-\sin x.$$

   Подставим во второе:

   $$ \sin^2 x+2\sin x(1-\sin x)=\dfrac34, $$

   $$ \sin^2 x+2\sin x-2\sin^2 x-\dfrac34=0, $$

   $$ 4\sin^2 x-8\sin x+3=0. $$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$ D=64-48=16, $$

   $$ \sin x_{1,2}=\dfrac{8\pm4}{8}. $$

   Получаем:

   $$\sin x=\dfrac12 \quad \text{или} \quad \sin x=\dfrac32.$$

   Значение $$\sin x=\dfrac32$$ невозможно, значит

   $$\sin x=\dfrac12.$$

   Тогда

   $$\cos y=1-\dfrac12=\dfrac12.$$

   Следовательно,

   $$ x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

2. $$ \begin{cases} \sin x+\sin y=\dfrac12,\\ \cos^2 x+2\sin x\sin y+4\cos^2 y=4. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:

   $$\sin y=\dfrac12-\sin x.$$

   Подставим во второе, учитывая $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$:

   $$ 1-\sin^2 x+2\sin x\left(\dfrac12-\sin x\right)+4\left(1-\left(\dfrac12-\sin x\right)^2\right)=4. $$

   После упрощения получаем:

   $$ 7\sin^2 x-5\sin x=0, $$

   $$ \sin x(7\sin x-5)=0. $$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\dfrac57.$$

   1) Если $$\sin x=0,$$ то

   $$\sin y=\dfrac12,$$

   значит

   $$ x=\pi n,\qquad y=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

   2) Если $$\sin x=\dfrac57,$$ то

   $$ \sin y=\dfrac12-\dfrac57=-\dfrac{3}{14}, $$

   значит

   $$ x=(-1)^n\arcsin\dfrac57+\pi n,\qquad y=(-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{3}{14}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

2) $$\left((-1)^n\arcsin\dfrac57+\pi n;\ (-1)^{k+1}\arcsin\dfrac{3}{14}+\pi k\right),\ \left(\pi n;\ (-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$