Упр.953 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2log3^2(x + 2у) = log1/3(x + 2y)log1/3(x -y) + log3^2(x — у),
x2 + xy — 2y2 = 9;
2) система
2log2^2(x + y) + log1/2(x + y)log1/2(x — 2y) = 2log2^2(x — 2y),
2) x2 — xy — 2y2 = 4.

Подробный ответ

Положим $$z=\log_3(x+2y), \quad t=\log_3(x-y).$$ Тогда первое уравнение системы принимает вид
$$2z^2=zt+t^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$t^2+zt-2z^2=0.$$
Решая квадратное уравнение относительно $$t$$, получаем:
$$D=z^2+8z^2=9z^2,$$
$$t_{1,2}=\frac{-z\pm 3z}{2}.$$
Отсюда
$$t_1=-2z, \quad t_2=z.$$
1) Если $$\log_3(x-y)=-2\log_3(x+2y),$$ то
$$x-y=\frac{1}{(x+2y)^2}.$$
Умножим на $$x+2y$$:
$$x-y=\frac{1}{(x+2y)^2} \;\Rightarrow\; (x-y)(x+2y)^2=1.$$
Из второго уравнения системы
$$x^2+xy-2y^2=9.$$
Заметим, что
$$x^2+xy-2y^2=(x-y)(x+2y),$$
поэтому
$$9(x+2y)=1,$$
$$x+2y=\frac{1}{9}.$$
Тогда
$$x=\frac{1}{9}-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\left(\frac{1}{9}-2y\right)^2+y\left(\frac{1}{9}-2y\right)-2y^2=9.$$
После упрощения получаем
$$-\frac{1}{3}y=\frac{728}{81},$$
$$y=-\frac{728}{27}.$$
Тогда
$$x=\frac{1}{9}-2\left(-\frac{728}{27}\right)=\frac{1459}{27}.$$
2) Если $$\log_3(x-y)=\log_3(x+2y),$$ то
$$x-y=x+2y,$$
$$3y=0,$$
$$y=0.$$
Из второго уравнения системы:
$$x^2+xy-2y^2=9 \Rightarrow x^2=9,$$
$$x=\pm 3.$$
С учётом области определения $$x-y>0,\; x+2y>0$$ подходит только $$x=3$$.
Положим $$z=\log_2(x+y), \quad t=\log_2(x-2y).$$ Тогда первое уравнение системы:
$$z^2+zt=2t^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$z^2+zt-2t^2=0.$$
Решая относительно $$z$$, получаем:
$$D=t^2+8t^2=9t^2,$$
$$z_{1,2}=\frac{-t\pm 3t}{2}.$$
Значит,
$$z_1=-2t, \quad z_2=t.$$
1) Если $$\log_2(x+y)=-2\log_2(x-2y),$$ то
$$x+y=\frac{1}{(x-2y)^2}.$$
Из второго уравнения системы
$$x^2-xy-2y^2=4.$$
Так как
$$x^2-xy-2y^2=(x+y)(x-2y),$$
то
$$4(x-2y)=1,$$
$$x-2y=\frac{1}{4}.$$
Тогда
$$x=\frac{1}{4}+2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\left(\frac{1}{4}+2y\right)^2-y\left(\frac{1}{4}+2y\right)-2y^2=4.$$
После упрощения:
$$\frac{3}{4}y=\frac{63}{16},$$
$$y=\frac{21}{4}.$$
Тогда
$$x=\frac{1}{4}+2\cdot \frac{21}{4}=\frac{43}{4}.$$
2) Если $$\log_2(x+y)=\log_2(x-2y),$$ то
$$x+y=x-2y,$$
$$3y=0,$$
$$y=0.$$
Из второго уравнения системы:
$$x^2-xy-2y^2=4 \Rightarrow x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
С учётом области определения $$x+y>0,\; x-2y>0$$ подходит только $$x=2$$.