Упр.953 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases} 2\log_3^2(x+2y)=\log_{\frac{1}{3}}(x+2y)\log_{\frac{1}{3}}(x-y)+\log_3^2(x-y),\\ x^2+xy-2y^2=9 \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} 2\log_2^2(x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x+y)\log_{\frac{1}{2}}(x-2y)=2\log_2^2(x-2y),\\ x^2-xy-2y^2=4 \end{cases}$$

1. Положим $$z=\log_3(x+2y), \quad t=\log_3(x-y).$$ Тогда первое уравнение системы принимает вид

   $$2z^2=zt+t^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$t^2+zt-2z^2=0.$$

   Решая квадратное уравнение относительно $$t$$, получаем:

   $$D=z^2+8z^2=9z^2,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-z\pm 3z}{2}.$$

   Отсюда

   $$t_1=-2z, \quad t_2=z.$$

   1) Если $$\log_3(x-y)=-2\log_3(x+2y),$$ то

   $$x-y=\frac{1}{(x+2y)^2}.$$

   Умножим на $$x+2y$$:

   $$x-y=\frac{1}{(x+2y)^2} \;\Rightarrow\; (x-y)(x+2y)^2=1.$$

   Из второго уравнения системы

   $$x^2+xy-2y^2=9.$$

   Заметим, что

   $$x^2+xy-2y^2=(x-y)(x+2y),$$

   поэтому

   $$9(x+2y)=1,$$

   $$x+2y=\frac{1}{9}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{1}{9}-2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\left(\frac{1}{9}-2y\right)^2+y\left(\frac{1}{9}-2y\right)-2y^2=9.$$

   После упрощения получаем

   $$-\frac{1}{3}y=\frac{728}{81},$$

   $$y=-\frac{728}{27}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{1}{9}-2\left(-\frac{728}{27}\right)=\frac{1459}{27}.$$

   2) Если $$\log_3(x-y)=\log_3(x+2y),$$ то

   $$x-y=x+2y,$$

   $$3y=0,$$

   $$y=0.$$

   Из второго уравнения системы:

   $$x^2+xy-2y^2=9 \Rightarrow x^2=9,$$

   $$x=\pm 3.$$

   С учётом области определения $$x-y>0,\; x+2y>0$$ подходит только $$x=3$$.

2. Положим $$z=\log_2(x+y), \quad t=\log_2(x-2y).$$ Тогда первое уравнение системы:

   $$z^2+zt=2t^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$z^2+zt-2t^2=0.$$

   Решая относительно $$z$$, получаем:

   $$D=t^2+8t^2=9t^2,$$

   $$z_{1,2}=\frac{-t\pm 3t}{2}.$$

   Значит,

   $$z_1=-2t, \quad z_2=t.$$

   1) Если $$\log_2(x+y)=-2\log_2(x-2y),$$ то

   $$x+y=\frac{1}{(x-2y)^2}.$$

   Из второго уравнения системы

   $$x^2-xy-2y^2=4.$$

   Так как

   $$x^2-xy-2y^2=(x+y)(x-2y),$$

   то

   $$4(x-2y)=1,$$

   $$x-2y=\frac{1}{4}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{1}{4}+2y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\left(\frac{1}{4}+2y\right)^2-y\left(\frac{1}{4}+2y\right)-2y^2=4.$$

   После упрощения:

   $$\frac{3}{4}y=\frac{63}{16},$$

   $$y=\frac{21}{4}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{1}{4}+2\cdot \frac{21}{4}=\frac{43}{4}.$$

   2) Если $$\log_2(x+y)=\log_2(x-2y),$$ то

   $$x+y=x-2y,$$

   $$3y=0,$$

   $$y=0.$$

   Из второго уравнения системы:

   $$x^2-xy-2y^2=4 \Rightarrow x^2=4,$$

   $$x=\pm 2.$$

   С учётом области определения $$x+y>0,\; x-2y>0$$ подходит только $$x=2$$.

Ответ

1) $$(3;0), \left(\frac{1459}{27};-\frac{728}{27}\right).$$

2) $$(2;0), \left(\frac{43}{4};\frac{21}{4}\right).$$