Упр.952 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

3x+y+1 + 7 * 3y-2=8,
корень x+ y2 = x+y;
2) система
2x+y+1 + 7 * 2y-5=4,
корень 2x+ y2 = x+y.

Подробный ответ

Из второго уравнения:
$$\sqrt{x+y^2}=x+y$$
Возведём в квадрат:
$$x+y^2=x^2+2xy+y^2$$
$$x^2+2xy-x=0$$
$$x(x+2y-1)=0$$
Отсюда либо $$x=0$$, либо $$x=1-2y$$.
1) Если $$x=0$$, то из первого уравнения:
$$3^{x+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$
$$3^{y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$
$$3\cdot 3^y+7\cdot \frac{3^y}{9}=8$$
$$3^y\left(3+\frac79\right)=8$$
$$3^y\cdot \frac{34}{9}=8$$
$$3^y=\frac{36}{17}$$
$$y=\log_3\frac{36}{17}$$
Получаем точку $$\left(0;\log_3\frac{36}{17}\right)$$.
2) Если $$x=1-2y$$, то из первого уравнения:
$$3^{(1-2y)+y+1}+7\cdot 3^{y-2}=8$$
$$3^{2-y}+7\cdot 3^{y-2}=8$$
Положим $$t=3^y$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{2-y}=\frac{9}{t}$$, $$3^{y-2}=\frac{t}{9}$$. Получаем:
$$\frac{9}{t}+7\cdot \frac{t}{9}=8$$
$$81+7t^2=72t$$
$$7t^2-72t+81=0$$
$$D=72^2-4\cdot 7\cdot 81=2916$$
$$t_1=\frac{72-54}{14}=\frac97,\qquad t_2=\frac{72+54}{14}=9$$
Тогда:
$$3^y=\frac97 \Rightarrow y=\log_3\frac97,\qquad x=1-2\log_3\frac97=\log_3\frac{49}{27}$$
$$3^y=9 \Rightarrow y=2,\qquad x=1-4=-3$$
Проверяем область определения: $$x+y\ge 0$$. Точка $$(-3;2)$$ не подходит, так как $$-3+2<0$$.
Остаётся точка $$\left(\log_3\frac{49}{27};\log_3\frac97\right)$$.
Из второго уравнения:
$$\sqrt{2x+y^2}=x+y$$
Возведём в квадрат:
$$2x+y^2=x^2+2xy+y^2$$
$$x^2+2xy-2x=0$$
$$x(x+2y-2)=0$$
Отсюда либо $$x=0$$, либо $$x=2-2y$$.
1) Если $$x=0$$, то из первого уравнения:
$$2^{y+1}+7\cdot 2^{y-5}=4$$
$$2\cdot 2^y+7\cdot \frac{2^y}{32}=4$$
$$2^y\left(2+\frac{7}{32}\right)=4$$
$$2^y\cdot \frac{71}{32}=4$$
$$2^y=\frac{128}{71}$$
$$y=\log_2\frac{128}{71}$$
Получаем точку $$\left(0;\log_2\frac{128}{71}\right)$$.
2) Если $$x=2-2y$$, то из первого уравнения:
$$2^{(2-2y)+y+1}+7\cdot 2^{y-5}=4$$
$$2^{3-y}+7\cdot 2^{y-5}=4$$
Положим $$t=2^y$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{3-y}=\frac{8}{t}$$, $$2^{y-5}=\frac{t}{32}$$. Получаем:
$$\frac{8}{t}+7\cdot \frac{t}{32}=4$$
$$256+7t^2=128t$$
$$7t^2-128t+256=0$$
$$D=128^2-4\cdot 7\cdot 256=9216$$
$$t_1=\frac{128-96}{14}=\frac{16}{7},\qquad t_2=\frac{128+96}{14}=16$$
Тогда:
$$2^y=\frac{16}{7}\Rightarrow y=\log_2\frac{16}{7},\qquad x=2-2\log_2\frac{16}{7}=2\log_2 7-6$$
$$2^y=16\Rightarrow y=4,\qquad x=2-8=-6$$
Проверяем область определения: $$x+y\ge 0$$. Точка $$(-6;4)$$ не подходит, так как $$-6+4<0$$.
Остаётся точка $$\left(2\log_2 7-6;\,4-\log_2 7\right)$$.