Упр.949 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}\log_3(y-3)-2\log_9 x=0,\\(x+a)^2-2y-5a=0\end{cases}$$ имеет хотя бы одно решение?

Подробный ответ

Из первого уравнения:

$$\log_3(y-3)-2\log_9 x=0.$$

Так как $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,$$ то

$$\log_3(y-3)-\log_3 x=0,$$

$$\log_3\frac{y-3}{x}=0,$$

$$\frac{y-3}{x}=1,$$

$$y=x+3.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$(x+a)^2-2(x+3)-5a=0,$$

$$x^2+2ax+a^2-2x-6-5a=0,$$

$$x^2+(2a-2)x+(a^2-5a-6)=0.$$

Чтобы система имела хотя бы одно решение, это квадратное уравнение должно иметь действительный корень, причём с учётом области определения $$x>0,$$ $$y>3.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-2)^2-4(a^2-5a-6)=4a^2-8a+4-4a^2+20a+24=12a+28.$$

Тогда

$$12a+28\ge 0,$$

$$a\ge -\frac73.$$

Корень уравнения:

$$x=\frac{-(2a-2)\pm\sqrt{12a+28}}{2}.$$

Нужен хотя бы один положительный корень. Для этого достаточно, чтобы больший корень был положительным:

$$\frac{-(2a-2)+\sqrt{12a+28}}{2}>0,$$

$$\sqrt{12a+28}>2a-2.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$12a+28>4a^2-8a+4,$$