Упр.948 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

log2(x2y+2xy2) — log1/2 (2/x+1/y)=4,
log5|xy/6|=0;
2) система
log2(x2y+xy2/2) — log1/2(1/x+2/y)=3,
log1/5|xy/6|=0.

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_2(x^2y+2xy^2)-\log_{\frac12}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=4,\\ \log_5\left|\frac{xy}{6}\right|=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем

$$ \left|\frac{xy}{6}\right|=1 \;\Rightarrow\; xy=\pm 6. $$

Первое уравнение преобразуем, учитывая, что $$\log_{\frac12} a=-\log_2 a$$:

$$ \log_2(x^2y+2xy^2)+\log_2\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=4. $$

Тогда

$$ \log_2\left((x^2y+2xy^2)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\right)=4. $$

Упростим выражение под логарифмом:

$$ x^2y+2xy^2=xy(x+2y), \qquad \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2y+x}{xy}. $$

Следовательно,

$$ \log_2\bigl((x+2y)(x+2y)\bigr)=4, $$
то есть

$$ \log_2(x+2y)^2=4 \;\Rightarrow\; (x+2y)^2=16 \;\Rightarrow\; x+2y=\pm 4. $$

Рассмотрим случаи.

1. $$xy=-6,\; x+2y=-4$$

$$ x=-4-2y, $$
тогда
$$ y(-4-2y)=-6. $$

$$ 2y^2+4y-6=0 \;\Rightarrow\; y^2+2y-3=0 \;\Rightarrow\; (y+3)(y-1)=0. $$

Отсюда $$y=-3$$ или $$y=1$$.

Если $$y=-3$$, то $$x=2$$. Если $$y=1$$, то $$x=-6$$.

Обе пары подходят.

2. $$xy=6,\; x+2y=4$$

$$ x=4-2y, $$
тогда
$$ y(4-2y)=6. $$

$$ 2y^2-4y+6=0 \;\Rightarrow\; y^2-2y+3=0. $$

$$ D=4-12=-8<0, $$ значит, действительных решений нет.

Итак, для первой системы получаем решения $$ (2,-3) $$ и $$ (-6,1) $$.

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_2\left(x^2y+\dfrac{xy^2}{2}\right)-\log_{\frac12}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\right)=3,\\ \log_{\frac15}\left|\dfrac{xy}{6}\right|=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ \left|\frac{xy}{6}\right|=1 \;\Rightarrow\; xy=\pm 6. $$

Первое уравнение преобразуем:

$$ \log_2\left(x^2y+\frac{xy^2}{2}\right)+\log_2\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)=3. $$

Так как

$$ x^2y+\frac{xy^2}{2}=\frac{xy(2x+y)}{2}, \qquad \frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{y+2x}{xy}, $$

то

$$ \log_2\left(\frac{xy(2x+y)}{2}\cdot \frac{y+2x}{xy}\right)=3. $$

Получаем

$$ \log_2\frac{(2x+y)^2}{2}=3 \;\Rightarrow\; \frac{(2x+y)^2}{2}=8 \;\Rightarrow\; (2x+y)^2=16. $$

Значит,

$$ 2x+y=\pm 4. $$

1. $$xy=-6,\; 2x+y=-4$$

$$ y=-4-2x, $$
тогда
$$ x(-4-2x)=-6. $$

$$ 2x^2+4x-6=0 \;\Rightarrow\; x^2+2x-3=0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x-1)=0. $$

Отсюда $$x=-3$$ или $$x=1$$.

Тогда соответственно $$y=2$$ и $$y=-6$$.

2. $$xy=6,\; 2x+y=4$$

$$ y=4-2x, $$
тогда
$$ x(4-2x)=6. $$

$$ 2x^2-4x+6=0 \;\Rightarrow\; x^2-2x+3=0, $$

$$ D=4-12=-8<0, $$ значит, действительных решений нет.

Итак, для второй системы получаем решения $$(-3,2)$$ и $$(1,-6)$$.

Ответ

1) $$ (2,-3),\; (-6,1) $$; 2) $$ (-3,2),\; (1,-6) $$.