Упр.947 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

9x*3y=9,
корень y — корень x = 1.

Решим систему:

$$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9,\\ \sqrt{y}-\sqrt{x}=1. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}, \qquad 9=3^2, $$

тогда

$$ 3^{2x}\cdot 3^y=3^2, $$

$$ 3^{2x+y}=3^2, $$

$$ 2x+y=2, $$

$$ y=2-2x. $$

Подставим во второе уравнение:

$$ \sqrt{2-2x}-\sqrt{x}=1. $$

Перенесём:

$$ \sqrt{2-2x}=1+\sqrt{x}. $$

Возведём в квадрат:

$$ 2-2x=1+2\sqrt{x}+x. $$

$$ 2\sqrt{x}=1-3x. $$

Снова возведём в квадрат:

$$ 4x=(1-3x)^2, $$

$$ 4x=1-6x+9x^2, $$

$$ 9x^2-10x+1=0. $$

Найдём корни:

$$ D=100-36=64, $$

$$ x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}. $$

Отсюда

$$ x_1=1,\qquad x_2=\frac19. $$

Найдём соответствующие значения $y$:

$$ y=2-2x. $$

Если $$x=1,$$ то $$y=0.$$

Если $$x=\frac19,$$ то

$$ y=2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}. $$

Проверка показывает, что оба полученных решения подходят.

Ответ

$$ (1;0),\ \left(\frac19;\frac{16}{9}\right) $$